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1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
(教师独具内容)
课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全
称量词对存在量词命题进行否定．
教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．
教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断．
【知识导学】
知识点一 全称量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定是 □ 存在量词 命题．
(2)对于全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定为 □ ∃ x ∈ M ， 綈 p ( x ) ．
知识点二 存在量词命题的否定
(1)存在量词命题的否定是 □ 全称量词 命题．
(2)对于存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定为 □ ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ) ．
【新知拓展】
1．对全称量词命题的否定及其特点的理解
(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时
既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供的结论
是对全称量词命题否定的关键．
(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全称
量词的命题，再写出命题的否定．
2．对存在量词命题的否定及其特点的理解
存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时既要
改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提供的结论是对
存在量词命题否定的关键．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全称量词命题的否定只是对命题结论的否定．( )
(2)“∃x∈M，使x具有性质p(x)”与“∀x∈M，x不具有性质 p(x)”的真假
性相反．( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )
(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．()
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“至多有一个”的否定为____________________________________．
(2)已知命题p：∀x∈R，x＋≥2，则它的否定是__________________．
(3)命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)．
答案 (1)至少有两个 (2)∃x∈R，x＋<2 (3)真
题型一 全称量词命题的否定
例1 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
[解] (1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数
根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ
＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实
数根，所以原命题的否定是真命题．
(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对
等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．
(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角
和为180°知原命题的否定为假命题．
金版点睛
1．对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
2．全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
写出下列全称量词命题的否定，并判断真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)∀x∈R，|x|≥x；
(3)∀x∈N
＋
，为正数．
解 (1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命
题．
(2)原命题的否定为“∃x∈R，|x|1”．这个命题为假命题，如x＝0时，
不满足|x＋1|>1.
金版点睛
1．对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．2．存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说
明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
写出下列存在量词命题的否定，并判断真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)∃x∈R，x2＋x＋≠0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解 (1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．这个命题是假命题，
如2是素数也是偶数．
(2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋＝0”．这个命题是假命题，因为当
x＝1时，x2＋x＋＝2＋＝≠0.
(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为 x＝
－1时，x3＋1＝0.
1．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
答案 C
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项 A，B是全称量词命题，
所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个
能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确，故选C.
2．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－2x－3≤0
B．∃x∈R，x2－2x－3≥0
C．∃x∈R，x2－2x－3>0
D．∀x∈R，x2－2x－3>0
答案 D
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为
“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.
3．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个
顶点都共圆
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0
答案 C
解析 若p：有的三角形为正三角形，则 p的否定：所有的三角形都不是正
三角形，故C错误．
4．若命题“∀x∈R，x2＋x＋a－1≠0”是假命题，则实数 a的取值范围为
________．
答案 a≤
解析 依题意可得“∃x∈R，x2＋x＋a－1＝0”为真命题，所以Δ＝12－4(a
－1)≥0，所以a≤.
5．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)菱形是平行四边形；
(2)∀x≥0，x2>0；
(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)∃x∈R，x2＋x＋1≤0.
解 (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假
命题．
(2)题中命题的否定为“∃x≥0，x2≤0”，这个命题为真命题．
(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于 180°”，这个命
题为真命题．
(4)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1>0”，这个命题为真命题．因为x2
＋x＋1＝x2＋x＋＋＝2＋>0.
