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第 2 课时 诱导公式五、六
(教师独具内容)
课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推
导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问
题．
教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用．
教学难点：诱导公式五、六的推导过程.
【知识导学】
知识点 诱导公式五、六
【新知拓展】
(1)公式五、六中的角α是任意角．
(2)诱导公式一～六中的角可归纳为 k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，
符号看象限”．
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，
二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：
sin＝－cosα，cos＝－sinα，
sin＝－cosα，cos＝sinα.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角－α与角α的终边关于y轴对称．( )
(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan与tanα的关系．( )(3)sin＝－sinα.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)已知sin＝，那么cosα＝( )
A．－ B．－
C. D.
(2)已知角α的终边经过点P (－3，－4)，则cos的值为( )
0
A．－ B.
C. D．－
(3)化简：sin＝________.
答案 (1)C (2)A (3)－cosα
题型一 利用诱导公式五、六求值
例1 已知cos＝，求值：
＋.
[解] 原式＝＋
＝－sinα－sinα
＝－2sinα.
又cos＝，所以－sinα＝.
所以原式＝－2sinα＝.
金版点睛
诱导公式应用中需注意的问题
诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数
向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、
互补关系，为应用诱导公式创造条件．
已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
解 ∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，
∴cosα＝，∴α为第一或第四象限角．
①若α为第一象限角，
则cos＝－sinα＝－
＝－＝－；
②若α为第四象限角，则
cos＝－sinα＝＝＝.
综上，cos＝或－.
题型二 化简三角函数式
例2 化简：＋
.
[解] ∵sin＝cosα，cos＝sinα，
cos(π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα，
cos＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα，
∴原式＝＋
＝－sinα＋sinα＝0.
金版点睛
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先
用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函
数名称最少．
(2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而
后一套公式必须变名．
(1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值等于________；
(2)化简：＋.
答案 (1) (2)见解析
解析 (1)因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，
所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋
sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
(2)因为tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，
sin＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα，
cos＝cos＝－sinα，
sin＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，
所以原式＝＋
＝－
＝＝＝1.题型三 利用诱导公式证明三角恒等式
例3 求证：
＝1.
[证明] ∵左边＝
＝＝1＝右边．
∴原式成立．
金版点睛
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到
左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、
“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方
法．
求证：＋
＝.
证明 ∵左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．
∴原式成立．
1．已知sin40°＝a，则cos50°等于( )
A．±a B．－a
C．a D.
答案 C
解析 cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a.
2．已知sin＝，α∈，则tanα的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D.
答案 A
解析 因为sin＝cosα＝.
又α∈，所以sinα＝－＝－，则tanα＝－2.
3．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
答案 2
解析 由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以
原式＝
＝＝＝＝2.
4．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________.
答案 －
解析 sin＝cosθ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.
5．已知sin＝，求cossin的值．
解 cossin
＝cossin
＝sinsin＝×＝.
