文档内容
3.2.2 奇偶性
(教师独具内容)
课程标准：1.了解函数奇偶性的概念和几何意义，并会用符号语言描述.2.了
解奇偶函数的图象特征，会判断简单函数的奇偶性．
教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.奇函数，偶函数的几何特征.3.判断函数的
奇偶性．
教学难点：1.函数的奇偶性与单调性结合问题.2.函数奇偶性的判定.
【知识导学】
知识点一 偶函数、奇函数的定义
(1)偶函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 □ ∀ x ∈ I ，都有－ x ∈ I ，且 f ( － x ) ＝
f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)．
(2)奇函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 □ ∀ x ∈ I ，都有－ x ∈ I ，且 f ( － x ) ＝－
f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．
知识点二 偶函数、奇函数的图象特征
(1)偶函数的图象特征
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 □ y 轴为对称轴的轴对称图
形；反之， □ 如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数．
(2)奇函数的图象特征
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 □ 原点为对称中心的中心对
称图形；反之， □ 如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则
这个函数是奇函数．
【新知拓展】
(1)奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．
(2)定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝
f(－x)＝f(|x|)．
(4)有的函数既不是奇函数，也不是偶函数，如：y＝2x＋1；有的函数是奇函
数，但不是偶函数，如：y＝x；有的函数是偶函数，但不是奇函数，如：y＝|
x|；有的函数既是奇函数，又是偶函数，如：y＝0(x∈[－1,1])．
(5)常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇(偶)函数的定义域都关于原点对称．( )
(2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．( )
(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数 f(x)一定是奇函数．
( )
(4)对于奇函数f(x)，一定有f(0)＝0.( )
(5)对于函数y＝f(x)，x∈R，若∃x ∈R，使f(－x )≠f(x )，则该函数不是偶函
0 0 0
数．( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数(填“奇”或“偶”)．
(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝________.
(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)
＝________.
答案 (1)奇 (2)4 (3)－5
题型一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(4)f(x)＝
[解] (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为 f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即 f(－x)≠－f(x)，f(－
x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．
(2)使函数有意义需满足所以该函数的定义域为{1}，
因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
(3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|
＋|x＋2|是偶函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－1＝－＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)．
综上可知，函数f(x)＝是奇函数．
金版点睛
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象
关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．
(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是I ，I ，在它们的公共定义域上，有如下结论：
1 2判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(2)f(x)＝0(x∈R)；
(3)f(x)＝2x＋1；(4)f(x)＝.
解 (1)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，
－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，
－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)∵f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
(3)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．
∵ f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，
∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数 f(x)
不具有奇偶性.
题型二 奇偶函数的图象及应用
例2 已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所
示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．[解析] 因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原
点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图
象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[答案] (－2,0)∪(2,5)
[结论探究] 本例条件不变，问题改为比较f(－1)与f(－3)的大小．
解 由例题图象知f(－1)＜0，
f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)．
金版点睛
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶
函数图象的问题．
(3)函数的单调性与奇偶性的关系
①若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是
偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
②奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的
最值相等．
若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|－22}
B．{x|04}
C．{x|x<0或22}
答案 B
解析 当x＝2时，有f(2)＝0，又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝0，作出
f(x)的大致图象，由图象可知，当－22，即04时，有
f(x－2)>0，故选B.题型三 利用函数奇偶性求解析式
例3 若f(x)是定义在R上的奇函数，当 x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)
的解析式．
[解] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝x(x＋2)．
故f(x)＝
金版点睛
求函数解析式的注意事项
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有 f(0)＝0，但若为偶函
数，则未必有f(0)＝0.
已知f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的
解析式．
解 ∵当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，
设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，
∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
故f(x)＝
题型四 函数的奇偶性与单调性的综合应用
例4 (1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上单调递减，比较
f(－5)与f(3)的大小；
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)f(x )的形式；
1 2
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相
反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解．
(1)已知函数 f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且 f(－
4)f(1)
(2)设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a
＋1)，求实数a的取值范围．
答案 (1)D (2)见解析
解析 (1)因为函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，
所以f(－4)f(1)．
(2)由题意知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，a2＋a＋1＝2＋>0，
且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，
所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.
综上，实数a的取值范围是.
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝－|x| B．y＝2－x
C．y＝ D．y＝－x2＋8
答案 C
解析 A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项
中函数为奇函数．
2．若函数f(x)满足＝1，则f(x)图象的对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．不能确定
答案 B
解析 由于f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，
则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
解析 由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.
两式相加，解得g(1)＝3.
4．奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是
－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.
答案 －7
解析 ∵f(x)是奇函数，且在[3,6]上单调递增，
∴f(3)＝－1，f(6)＝4.
∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7.
5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b；
(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．
解 (1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，
g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3，
∵g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4.
(2)f(x)＝x2＋4x＋3的图象关于直线x＝－2对称，因此f(x)在x＝－2时取得最小值－1，在x＝3时取得最大值24.
