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(教师独具内容)
课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y
＝x3，y＝，y＝x的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.能正确应用
幂函数的知识解决相关问题．
教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质．
教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题．
【知识导学】
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 □ y ＝ x α 叫做幂函数(power function)，其中 □ x 是自变量， □ α
是常数．
知识点二 一些常用幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)．
知识点三 一些常用幂函数的性质【新知拓展】
1．幂函数的特征
(1)xα的系数是1；
(2)xα的底数x是自变量；
(3)xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等
的函数都不是幂函数．
2．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限
内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向
于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x3＋2是幂函数．( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( )
(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．( )
(4)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
(3)若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．
答案 (1)3 (2)－8 (3)[0，＋∞)
题型一 幂函数的定义
例1 已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其
定义域．
[解] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．
金版点睛
判断函数是幂函数的依据
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常数)的形式，
即满足：①指数α为常数；②底数x为自变量；③系数为1.
(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知y＝(m2－4m＋4)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数是2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝
1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)由题意得解得
所以m＝3，n＝.
题型二 幂函数的图象及应用
例2 幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x在第一象限内的图象依次是图中的
曲线( )
A．C ，C ，C ，C
2 1 3 4
B．C ，C ，C ，C
4 1 3 2
C．C ，C ，C ，C
3 2 1 4
D．C ，C ，C ，C
1 4 2 3
[解析] 由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下
相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线 x＝1右侧的“高低”
关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C ，y＝x－1在第一
1
象限内的图象为C ，y＝x在第一象限内的图象为C ，y＝x在第一象限内的图象
4 2
为C .
3
[答案] D
金版点睛
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函
数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越
远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的
图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )A．－11
D．n<－1，m>1
(2)已知函数y＝.
①求定义域；
②判断奇偶性；
③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调
区间．
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)在(0,1)内取 x ，作直线 x＝x ，与各图象有交点，则“点低指数
0 0
大”．如图，0().
(3)∵y＝x2为R上的偶函数，∴(－0.31)2＝0.312.
又函数y＝x2在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35，
∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352.
金版点睛
比较幂值大小的方法
比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑
构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题．
例4 若(3－2m) >(m＋1) ，求实数m的取值范围．
[解] 因为y＝x在定义域[0，＋∞)上单调递增，
所以解得－1≤m<.
故实数m的取值范围为.
金版点睛
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，
常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
(1)比较下列各组数的大小：
①与；②－3.143与－π3；
(2)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而
减小，求此幂函数的解析式．
解 (1)①∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且>，
∴>.
②∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
(2)∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是幂函数，
∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，
∴m＝2或m＝－3.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当 x∈(0，＋∞)时，
y随x的增大而减小；
当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当 x∈(0，＋∞)
时，y随x的增大而减小，故舍去．
∴y＝x－3(x≠0)．
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
答案 B
解析 由幂函数的定义知函数y＝5x不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数
不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂
函数．
2．函数y＝x3的图象大致是图中的( )答案 B
解析 ∵函数y＝x3是奇函数，且α＝3>1，则其为增函数，且y随x的增大急
剧增大，∴函数图象为B.
3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
