文档内容
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语
言和工具.2.在实际情境中，能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数
及幂函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作
用．
教学重点：用函数模型来解决实际问题．
教学难点：建立函数模型.
【知识导学】
知识点 用函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)审题： □ 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问
题，初步选择模型．
(2)建模： □ 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模
型．
(3)求模： □ 求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原： □ 利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
【新知拓展】
常见的函数模型
(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速
增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的
时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等．
(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数
可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此
分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有
广泛的应用．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在用函数模型解决实际问题时，得到的数学问题的解就是实际问题的解．
( )
(2)现实生活中有很多问题都可以用分段函数来描述，如出租车计费，个人
所得税等．( )
(3)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与
燃烧时间t(h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B
地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函
数，该函数的解析式是________．
(2)有200 m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(假设长度够用)作为一边，
围成一块矩形菜地，那么矩形的长为________ m，宽为________ m时，这块菜
地的面积最大．
答案 (1)y＝ (2)100 50
题型一 一次函数模型解决实际问题
例1 某服装厂每天生产童装 200套或西服50套，已知每生产一套童装需成
本40元，可获得利润 22元，每生产一套西服需成本 150元，可获得利润 80元．
由于资金有限，该厂每月成本支出不超过 23万元，为使赢利最大，若按每月 30
天计算，应安排生产童装和西服各多少天(天数为整数)？并求出最大利润．
[解] 设生产童装的天数为x，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装
和西服的套数分别为 200x 和 50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为
40×200x 元和 150×50×(30－x)元，每月生产童装和西服的利润分别为
22×200x 元和 80×50×(30－x)元，则总利润为 y＝22×200x＋80×50×(30－
x)，化简得y＝400x＋120000.
注意到每月成本不超过23万元，则40×200x＋150×50×(30－x)≤230000，
从而求出x的取值范围是0≤x≤10，且x为整数．显然当x＝10时，赢利最大，
最大利润是124000元．金版点睛
用一次函数模型解决实际问题的解题方法
(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；
(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型；
(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．
某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km.火车出发 10 min 开出 13
km后，以120 km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t
之间的关系，并求离开北京2 h时火车行驶的路程．
解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.因为火车
匀速行驶t h所行驶路程为120t，所以，火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间
的关系是s＝13＋120t.离开北京2 h时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km).
题型二 二次函数模型解决实际问题
例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本
y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y＝－48x＋8000，已
知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年
产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[解] 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y
＝40x－＋48x－8000
＝－＋88x－8000
＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上单调递增，
∴x＝210时，
R(x) ＝－(210－220)2＋1680＝1660(万元)．
max
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
金版点睛
用二次函数模型解题的策略
(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)．
(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，
从而解决实际问题中的最值问题．(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为 Q 万元和
1
Q 万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q ＝x，Q ＝.现有3万元资金投入使
2 1 2
用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
解 设对甲种商品投资 x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为 y
万元．
所以Q ＝x，Q ＝.
1 2
所以y＝x＋(0≤x≤3)，
令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2.
所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋.
当t＝时，y ＝＝1.05(万元)，
max
即x＝＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为 0.75万
元和2.25万元，共获得利润1.05万元.
题型三 分段函数模型解决实际问题
例3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40元，出厂单价定为60元，
该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购
的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表
达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购
1000个，利润又是多少元？
(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
[解] (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51元时，一次订购量为 x 个，
0
则x ＝100＋＝550(个)．因此，当一次订购量为 550个时，每个零件的实际出厂
0
价恰好降为51元．
(2)当0550时，P＝51.
∴P＝f(x)＝(x∈N)．
(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝(x∈N)．
当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.
因此，当销售商一次订购 500个零件时，该厂获得的利润是 6000元；如果
订购1000个，利润是11000元．
金版点睛
用分段函数模型解决实际问题的解法
分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个
问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，
特别是端点值．
有一新款服装在 4月份(共30天)投放某专卖店销售，日销售量 y(单位：
件)关于时间n(1≤n≤30，n∈N*)(单位：天)的函数图象如图所示，其中函数y＝
f(n)的图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为
m，且第m天日销售量最大．
(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总量；
(2)按规律，当该服装的销售总量超过 400件时，社会上流行该服装，而日
销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失．试问该服装在社会上流
行的天数是否会超过10天？并说明理由．
解 (1)由图象知，当1≤n≤m且n∈N*时，设f(n)＝5n＋b，将点(1,2)代入，
得5＋b＝2，
解得b＝－3，则f(n)＝5n－3.
由f(m)＝57，即5m－3＝57，得m＝12.
当12400，
∴从第14天开始销售总量超过400件，即该服装开始流行．设第 n 天的日销售量开始低于 30 件(1221.
∴从第22天开始日销售量低于30件，即流行时间为14号至21号．
∴该服装在社会上流行的天数不超过10天.
题型四 综合运用所学知识解决实际问题
例4 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价
降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写
出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．
[解] (1)由题意得y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以 100－80≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－
x)(50＋8x)，定义域为[0,2]．
(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
金版点睛
对于此类实际应用问题，应先根据题意建立函数关系式，再解决数学问题，
最后结合问题的实际意义作出回答.建立函数关系式是解题关键.
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每
小时可获得的利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产
速度？并求最大利润．
解 (1)根据题意，得
200≥3000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，x 的取值范围是
[3,10]．
(2)设利润为y元，则
y＝·100＝9×104＝9×104，
故当x＝6时，y ＝457500元．
max
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，
最大利润为457500元．
1．设甲、乙两地的距离为 a(a>0)米，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了
20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小
王从出发到返回原地所走过的路程y(米)和其所用的时间x(分)的函数图象为(如下
图所示)( )
答案 D
解析 注意到y表示“小王从出发到返回原地所走过的路程”，而不是位移
故选D.
2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10人推选一名代表，当各班人
数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该
班人数x之间的函数关系用取整函数 y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表
示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 B
解析 根据规定可知，当各班人数除以 10的余数分别为7,8,9时可以增选一
名代表，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为y＝.
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种
商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).1万件售价是20万元，若该
企业生产的这种商品能够全部售出，那么为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为( )
A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件
答案 A
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
故选A.
4．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给
希望工程，盒内原有60元，2个月后盒内有80元．则盒内钱数y(元)与存钱月数
x之间的函数关系式为________．
答案 y＝10x＋60(x≥0)
解析 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.因为当x＝0时，y＝60；当x
＝2时，y＝80，所以解得所以y＝10x＋60(x≥0)．
5．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间 x(单位：
分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能
力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接
受能力逐步降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
解 (1)因为y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步下降．
(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59，
即第10分钟时，学生的接受能力为59.
(3)当x＝13时，y取最大值．
所以，在第13分钟时，学生的接受能力最强．
