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3.1.1 函数的概念
(教师独具内容)
课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的
重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应
关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义
域．
教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函
数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函
数．
教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解.2.抽象函数的
定义域.3.一些简单函数值域的求法.
【知识导学】
知识点一 函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数x，按
照某种确定的对应关系 f，在集合B中都有 □ 唯一确定 的数y和它对应，那么就
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 □ y ＝ f ( x ) ， x ∈ A .其中，x叫做
□ 自变量 ，x的取值范围A叫做函数的 □ 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做□
函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 □ 值域． 显然， □ 值域 是集合B的
子集．
注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任
意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集 A中的
任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y
与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
(2)集合A是函数的定义域，因为给定 A中每一个x值都有唯一的y值与之对
应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的
x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B.
(3)在函数定义中，我们用符号 y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函
数值”，而不是“f乘x”．知识点二 函数的两要素
从函数的定义可以看出，函数有三个要素： □ 定义域 、 □ 对应关系 、 □ 值域 ，
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□
定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数
关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量 x在其定义域中的每一个值是否都有唯一的
函数值y和它对应．
知识点三 区间的概念
(1)设a，b是两个实数，而且aa，x≤b，x0时，f(a＋1)的值．
解 (1)f(2)＝＋.
(2)易知f(x)的定义域A＝[0，＋∞)，
∵a>0，∴a＋1>1，则a＋1∈A，
∴f(a＋1)＝＋.
题型四 求函数的值域
例6 求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝；
(4)y＝2x－.
[解] (1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为
{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，
可得函数的值域为[2,6)．
(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t
＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为.
金版点睛
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定
其值域．
(2)常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原
函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常
用换元法．
④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例
函数类”的形式，便于求值域．
求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝x＋.
解 (1)∵y＝＝＝1－，且≠0，
∴函数y＝的值域为{y|y≠1}．
(2)配方，得y＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，
∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y|2≤y<11}．
(3)(换元法)设t＝，则x＝t2－1，且t≥0，
所以y＝t2＋t－1＝2－，
由t≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞).
题型五 相同函数的判断
例7 下列各组函数表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1
C．f(x)＝1，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝|x|
[解析] A项中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，
它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．
B项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．
C项中，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义
域不相同，所以它们不是同一函数．
D项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数．
[答案] B
金版点睛
判断两个函数为同一函数的条件
(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相
同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与
值域都相同，也不一定是相同函数．
(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变
量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．
下列函数中哪个与函数y＝x相同？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
解 (1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同．
(2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同．
(3)y＝＝|x|＝y≥0；值域不同，且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相
同，所以不相同．
(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不相同．
1．下列各图中，可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
答案 D
解析 A，B中的图象与y轴有两个交点，即有两个 y值与x＝0对应，所以
A，B不可能是函数y＝f(x)的图象；对于C中图象，过x＝1作与x轴垂直的直线
与图象有两个交点，所以C不可能是函数y＝f(x)的图象．故选D.
2．函数f(x)＝x＋的定义域是( )A．{x|x≥2} B．{x|x>2}
C．{x|x≤2} D．{x|x<2}
答案 C
解析 要使函数式有意义，则 2－x≥0，即 x≤2.所以函数的定义域为{x|
x≤2}．
3．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
答案 B
解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，
∴－1<2x＋1<0，解得－1
