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章末复习提升课
复数的概念
设z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，求m取何值时，
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数．
【解】 (1)若z为纯虚数，则
即
解得
所以当m＝3时，z是纯虚数．
(2)若z是实数，则
解得
所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
复数相关概念的应用技巧
(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等
复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
若复数是纯虚数，则实数a的值为( )
A．2 B．－
C. D．－
解析：选A.因为＝＝是纯虚数，所以a＝2.
复数的运算
(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
(2)z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
【解析】 (1)由＝1＋i，
得z＝＝
＝＝－1－i，故选B.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.由z＋z＝2，可得a＝1.由(z－z)i＝2，得b＝－
1，所以z＝1－i.
【答案】 (1)B (2)D
利用复数的四则运算求复数的一般思路
(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与
虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算．
(2)复数的除法运算：主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算化简．
＋(1－i)2＝________．
解析：＋(1－i)2
＝＋(－2i)＝－2i
＝－2i＝－2i＝－i.
答案：－i
共轭复数，复数的模
已知复数z＝，则复数z的模为( )
A．5 B.
C. D.
【解析】 法一：由题意，知z＝＝＝＝＝＝－2－i，所以|z|＝＝，故选B.
法二：|z|＝＝＝＝，故选B.【答案】 B
化复为实
利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实
数化的思想．根据复数模的意义，可以简化计算．
1．已知复数z＝2＋ai(a∈R)，z＝1－2i，若为纯虚数，则|z|＝( )
1 2 1
A. B.
C．2 D.
解析：选D.由于＝＝＝为纯虚数，则a＝1，则|z|＝，故选D.
1
2．设|z|＝1，则|z2－z＋1|的最大值为________．
解析：因为|z|＝1，则可设z＝cos θ＋isin θ，且z·z＝1.故|z2－z＋1|＝|z2－z＋z·z|
＝|z|·|z＋z－1|
＝1·|2cos θ－1|＝|2cos θ－1|，
当cos θ＝－1时，|2cos θ－1|＝3.
所以|z2－z＋1|的最大值为3.
答案：3
复数的三角形式
把下列复数转化为三角形式．
(1)－1；(2)2i；(3)－i.
【解】 (1)r＝＝1，辐角的主值为θ＝arg(－1)＝π，所以－1＝cos π＋isin π.
(2)r＝＝2，辐角的主值为θ＝arg(2i)＝，所以2i＝2.
(3)r＝＝2，由tan θ＝＝－和点(，－1)在第四象限，得θ＝arg(－i)＝2π－＝，
所以－i＝2.
复数的代数形式化为三角形式的方法
(1)求复数的模r＝.
(2)由tan θ＝及点(a，b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下，只须求出复数的
辐角的主值即可)．
(3)根据公式写出复数的三角形式．
1．复数z＝－2的辐角的主值是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.z＝－2＝2＝2
＝2，故复数z的辐角的主值为.
2．把与复数z＝1－i对应的向量按逆时针方向旋转，则与所得的向量对应的复数为(
)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1－i D．1－i
解析：选B.因为z＝1－i＝，所以z按逆时针方向旋转得
＝
＝
＝
＝1＋i.
1．复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析：选C.依题意得＝＝－＝i，其共轭复数为－i，故选C.
2．已知复数z＝＋i，z＝－＋i，则z＝在复平面内对应的点位于( )
1 2
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D.因为z＝＋i，z＝－＋i，
1 2
所以z＝＝＝＝－i，
所以复数z在复平面内对应的点为，
在第四象限．故选D.
3．复数z＝3，z＝1－i，则的辐角的主值是( )
1 2
A．－ B.
C．π D.
解析：选B.z＝1－i＝，
2
所以arg＝－π＋2π＝.
4．定义运算＝ad－bc，若复数x＝，y＝，则y＝________．
解析：依题意，y＝4i(x＋i)－2xi
＝4i2＋2xi＝－4＋
＝－4＋＝－4＋2＝－2.
答案：－2
5．已知复数z满足|3＋4i|＋z＝1＋3i.(1)求z；
(2)求的值．
解：(1)因为|3＋4i|＝5，
所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i，所以z＝－4－3i.
(2)＝＝2.
6．已知复数z ＝a2－3＋(a＋5)i，z ＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1，
1 2
OZ2(O为原点)．
(1)若向量OZ1表示的点在第四象限，求a的取值范围；
(2)若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值．
解：(1)因为复数z＝a2－3＋(a＋5)i，向量OZ1表示的点在第四象限，所以
1
解得a<－5.
所以a的取值范围是a<－5.
(2)因为Z1Z2＝OZ2－OZ1，
所以向量Z1Z2对应的复数为z －z ＝[a－1＋(a2＋2a－1)i]－[a2－3＋(a＋5)i]＝－(a2－a
2 1
－2)＋(a2＋a－6)i.
根据向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，可得－(a2－a－2)＝0且a2＋a－6≠0.解得a＝－1.
