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[A 基础达标]
1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，
女同学20名)采取分层随机抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲
被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为在分层随机抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以女同学甲被
抽到的概率P＝＝，故应选C.
2．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
5人及
排队人数 0 1 2 3 4
以上
概率 0.11 0.16 0.3 0.29 0.1 0.04
则至多有2人排队的概率为( )
A．0.3 B．0.43
C．0.57 D．0.27
解析：选C.记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件
C，A、B、C彼此互斥．记“至多有2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋
P(B) ＋P(C)＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.
3．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时
称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个
三位数为“凹数”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；
由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；
由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；
由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．
当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；
当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．
所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
4．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出
自己的硬币．若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个
人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B.C. D.
解析：选B.抛四枚硬币，总的结果有16种，“没有相邻的两个人站起来”记为事件
A，可分为三类：一是没有人站起来，只有1种结果：二是1人站起来，有4种结果；三是
有2人站起来，可以是AC或BD，有2种结果．所以满足题意的结果共有1＋4＋2＝7种结
果，P(A)＝.故选B.
5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙
级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．
解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三
个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.
答案：0.92
6．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他
们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝
蓝9种，其中颜色相同的有3种，所以所求概率为＝.
答案：
7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各
道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
解析：依题意得，加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率
是1－＝.
答案：
8．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层随机抽样
的方法从三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A，A，A，A，A，A，现从这6名运
1 2 3 4 5 6
动员中随机抽取2人参加双打比赛．
(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果；
(ⅱ)设A为事件“编号A 和A 的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的
5 6
概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)(ⅰ)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为(A ，A)，(A ，
1 2 1
A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，
3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4
(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，共15种．
3 5 3 6 4 5 4 6 5 6
(ⅱ)编号为A 和A 的两名运动员中至少有 1人被抽到的所有可能结果为(A ，A)，
5 6 1 5(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，共9种．
1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
9．(2019·江西省临川第一中学期末考试)某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机
访问了50名教职工，根据这50名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图
所示，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数(结果保留到小数点后一位)；
(2)从评分在[40，60)的受访教职工中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤处
评分在[50，60)内的概率．
解：(1)由频率分布直方图，可知(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，
解得a＝0.006.
设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为x，有
0
(0.004＋0.006＋0.022)×10＋0.028·(x－70)＝0.5，解得x≈76.4(分)，
0 0
故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4.
(2)由频率分布直方图可知，受访教职工评分在[40，50)内的人数为0.004×10×50＝
2(人)，受访教职工评分在[50，60)内的人数为0.006×10×50＝3(人)．
设受访教职工评分在[40，50)内的两人分别为a ，a ，在[50，60)内的三人分别为b ，
1 2 1
b，b，则从评分在[40，60)内的受访教职工中随机抽取2人，
2 3
其样本点有(a ，a)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(b ，
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1
b)，(b，b)，(b，b)，共10个，其中2人评分至少有一人在[50，60)内的样本点有9个，
2 1 3 2 3
故2人评分至少有1人在[50，60)内的概率为.
[B 能力提升]
10．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人获得
一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获
得一等奖的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获
得，则所求概率是×＋×＝.故选D.
11．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，样本点有(甲，乙，丙)、
(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、
(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10个，而事件A的对立事件A仅有(丙，丁，
戊)一种可能，所以事件A的对立事件A的概率为P(A)＝，所以P(A)＝1－P(A) ＝.故选D.
12．甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2条棱
互相垂直的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任
选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝81(种)结果，满足条件的事件是这2条棱
互相垂直，所有可能情况是
当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果；
当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种情况；
当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果．
综上所述，共有20＋6＋18＝44(种)结果，
故这2条棱互相垂直的概率是.
13．(2019·广东省东莞市调研测试)某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积
分30分(不足5件不积分)，每多买2件再积20分(不足2件不积分)，比如某顾客购买了12
件，则可积90分．为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1 000名顾客，统计了
当天他们的购物数额，并将样本数据分为[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，
[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，整理得到如图频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)从当天购物数额在[13，15)，[15，17)的顾客中按分层随机抽样的方法抽取6人．那
么，从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于240分的概率．
解：(1)各组的频率分别为0.04，0.06，2a，2a，6a，0.2，2a，0.08，0.02，
所以0.04＋0.06＋2a＋2a＋6a＋0.2＋2a＋0.08＋0.02＝1，化简得12a＝0.6，
解得a＝0.05.
(2)按分层随机抽样的方法在[13，15)内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分
是110分；
在[15，17)内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分；
从6人中随机抽取2人，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，
D)，(B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)共15个样本点，
其中这2人的积分之和不少于240分的有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，
(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)共9个样本点；
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为P＝＝.
[C 拓展探索]
14．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别
在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(单位：克)
中，经统计的频率分布直方图如图所示．
(1)估计这组数据平均数；
(2)现按分层随机抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这
5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
(3)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总
体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以
3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
解：(1)由频率分布直方图知，这组数据的平均数
x≈ 0.07×125＋0.15×175＋0.20×225＋0.30×275＋0.25×325＋0.03×375＝255.
(2)利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2
个，记为a，a，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为b，b，b；
1 2 1 2 3
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：(a ，a)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，
1 2 1 1 1 2 1
b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(b，b)，(b，b)，(b，b)．
3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3
记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A有4个样本点：(a，a)，(b，b)，(b，b)，(b，b)，
1 2 1 2 1 3 2 3
从而P(A)＝＝，
故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
(3)方案①收入：y＝×10 000×9＝×10 000×9＝22 950(元)；
1
方案②：低于250克的芒果收入为(0.07＋0.15＋0.2)×10 000×2＝8 400(元)；
不低于250克的芒果收入为(0.25＋0.3＋0.03)×10 000×3＝17 400(元)；
故方案②的收入为y＝84 00＋17 400＝25 800(元)．
2
由于22 950<25 800，所以选择方案②获利多．
