文档内容
8．5.2 直线与平面平行
考点 学习目标 核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图
形语言、文字语言、符号
语言准确描述直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定 直观想象、逻辑推理
定理，会用直线与平面平
行的判定定理证明一些空间线面位置
关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
定理，明确定理的条件，
直线与平面平行的性质 直观想象、逻辑推理
能利用直线与平面平行的性质定理解
决有关的平行问题
问题导学
预习教材P135－P138的内容，思考以下问题：
1．直线与平面平行的判定定理是什么？
2．直线与平面平行的性质定理是什么？
1．直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平
文字语言
面平行
符号语言 a ⊄ α ， b α ， 且 a ∥ b a∥α
图形语言 ⊂ ⇒
■名师点拨
用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a⊄α.
(2)直线b在平面α内，即b α.
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
⊂
2．直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么
文字语言
该直线与交线平行
符号语言 a∥α， a β ， α ∩ β ＝ b a∥b
⊂ ⇒图形语言
■名师点拨
(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a β.
以上三个条件缺一不可．
⊂
(2)定理的作用：
①线面平行⇒线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得
到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )
(2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( )
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( )
(4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.( )
(5)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b α，a∥b
B．b α，c∥α，a∥b，a∥c
⊂
C．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
⊂
D．a ⊂⊄α，b α，a∥b
答案：D
⊂
如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(
)
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
解析：选B.因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，
l∥m”中另外添加的一个条件是________．
⊂
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．
答案：l⊄α
直线与平面平行的判定
如图，在正方体ABCDABC D 中，E，F，G分别是BC，
1 1 1 1
CC ，BB 的中点，求证：EF∥平面ADG.
1 1 1
【证明】 连接 BC ，则由 E，F 分别是 BC，CC 的中点，知
1 1
EF∥BC .
1
又AB\s\do3(═)AB\s\do3(═)DC ，所以四边形ABCD 是平行四
1 1 1 1 1 1
边形，
所以BC ∥AD，所以EF∥AD.
1 1 1
又EF⊄平面ADG，AD 平面ADG，
1 1 1
所以EF∥平面ADG.
1 ⊂
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④成比例线段法．
[提醒] 线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
1．如图，下列正三棱柱ABCABC 中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能
1 1 1
得出AB∥平面MNP的是( )解析：选C.在题图A，B中，易知AB∥AB∥MN，MN 平面MNP，AB⊄平面MNP，
1 1
所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，PN 平面 ⊂MNP，AB⊄平面MNP，所以
AB∥平面MNP.
⊂
2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别
是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
证明：如图，作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN，则
PM∥QN，
＝，＝.
因为EA＝BD，AP＝DQ，
所以EP＝BQ.
又因为AB＝CD，所以PM\s\do3(═)QN，
所以四边形PMNQ是平行四边形，
所以PQ∥MN.
又因为PQ⊄平面CBE，MN 平面CBE，
所以PQ∥平面CBE.
⊂
线面平行性质定理的应用
如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上
取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【证明】 如图，连接 AC，交 BD 于点 O，连接 MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
又因为点M是PC的中点，
所以AP∥OM.
又因为AP⊄平面BDM，OM 平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
⊂
因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP 平面PAHG，所以AP∥GH.
⊂
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱
PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．
解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点
O，
连接FO.
因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，
FD 平面BDF，
所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG 平面CGE，CE 平面
⊂
CGE，
⊂ ⊂
所以平面CGE∥平面BDF，
又CG 平面CGE，
所以CG∥平面BDF，
⊂
又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG 平面PAC，
所以FO∥CG.又O为AC的中点，
⊂
所以F为AG的中点，
所以FG＝GP＝1，
即G是PF的中点，又EG∥FD，
所以E为PD的中点，所以PE∶ED＝1∶1.
1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是( )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
2．给出下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平
面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．
3．三棱台ABCABC 中，直线AB与平面ABC 的位置关系是( )
1 1 1 1 1 1
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．不确定
解析：选B.在三棱台ABCABC 中，AB∥AB，AB⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AB∥平面ABC .
1 1 1 ⊂
4．如图，直三棱柱ABCABC 中，D是AB的中点．证明：BC ∥平面ACD.
1 1 1 1 1
证明：如图，连接AC 交AC于点F，则F为AC 的中点．
1 1 1
又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC .
1
因为DF 平面ACD，BC ⊄平面ACD，所以BC ∥平面ACD.
1 1 1 1 1
⊂
[A 基础达标]
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项
B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直
线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD
上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以
GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
⊂
3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．共面或异面
解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨
设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，
所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.
4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥
平面EFGH时，下列结论中正确的是 ( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，
则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
5．若直线 l∥平面 α，则过 l作一组平面与 α相交，记所得的交线分别为 a，b，
c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知 l∥a，l∥b，
l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
6．在正方体ABCDABC D 中，E、F分別是对角线AD、BD 的中点，则正方体6
1 1 1 1 1 1 1
个表面中与直线EF平行的平面有________________．解析：如图，连接AC ，C D，
1 1 1
所以F为AC 的中点，
1 1
在△AC D中，EF为中位线，
1 1
所以EF∥C D，又EF⊄平面C CDD ，
1 1 1
C D 平面C CDD ，所以EF∥平面C CDD .
1 1 1 1 1
同理，EF∥平面ABBA.
⊂ 1 1
故与EF平行的平面有平面C CDD 和平面ABBA.
1 1 1 1
答案：平面C CDD 和平面ABBA
1 1 1 1
7．如图，在正方体ABCDABC D 中，AB＝2，点E为AD的中点，
1 1 1 1
点F在CD上．若EF∥平面ABC，则线段EF的长度等于________．
1
解析：因为在正方体ABCDABC D 中，AB＝2，所以AC＝2.又E
1 1 1 1
为 AD 的中点，EF∥平面 ABC，EF 平面 ADC，平面 ADC∩平面
1
ABC＝AC，所以EF∥AC，
1 ⊂
所以F为DC的中点，
所以EF＝AC＝.
答案：
8.如图，正方体ABCDABC D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在
1 1 1 1
CD上，若EF∥平面ABC，则线段EF的长度等于________．
1
解析：因为EF∥平面ABC，EF 平面ACD，平面ACD∩平面ABC＝
1 1
AC，
⊂
所以EF∥AC，又E为AD的中点，AB＝2，
所以EF＝AC＝×＝.
答案：
9．如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝
2FD，求证：BE∥平面AFC.
证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点 G，连接
EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，
则EG∥FC.
在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．
在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，
则BE∥MO.
又MO 平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.
10．如图，在正方体 ABCDABC D 中，E，F分别是棱 BC，
⊂ 1 1 1 1
C D 的中点，求证：EF∥平面BDD B.
1 1 1 1
解：如图，取DB 的中点O，连接OF，OB.
1 1
因为OF\s\do3(═)BC ，BE\s\do3(═)BC ，
1 1 1 1
所以OF\s\do3(═)BE，所以四边形OFEB是平行四边形，所以EF∥BO.
因为EF⊄平面BDD B，BO 平面BDD B，
1 1 1 1
所以EF∥平面BDD B.
1 1 ⊂
[B 能力提升]
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的
点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选A.因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因
为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
⊂
12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线( )
⊂
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，一定不在α内
C．只有一条，一定在α内
D．有无数条，一定在α内
解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些
直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在
α内．13.如图所示，P为矩形 ABCD所在平面外一点，矩形对角线
的交点为 O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：① OM∥PD；
② OM∥平面 PCD；③ OM∥平面 PDA；④ OM∥平面 PBA；
⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD
中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，
且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平
面PBA、平面PBC均相交．
14.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，
∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段
AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
证明：因为EF∥AB，
FG∥BC，EG∥AC，
∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于 AB＝
2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，
由于FG∥BC，FG＝BC，在 ▱ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.
又FA 平面ABFE，GM⊄平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
⊂
[C 拓展探究]
15．如图，斜三棱柱ABCABC 中，点D 为AC 上的点．当等于何值时，BC ∥平面
1 1 1 1 1 1 1
ABD
1 1?
解：如图，取D 为线段AC 的中点，此时＝1.
1 1 1
连接AB交AB 于点O，连接OD .
1 1 1
由棱柱的性质，知四边形 AABB 为平行四边形，所以点 O为
1 1
AB的中点．
1
在△ABC 中，点O，D 分别为AB，AC 的中点，
1 1 1 1 1 1
所以OD ∥BC .
1 1又因为OD 平面ABD，BC ⊄平面ABD，
1 1 1 1 1 1
所以BC ∥平面ABD.
1 ⊂ 1 1
所以当＝1时，BC ∥平面ABD.
1 1 1
