文档内容
[A 基础达标]
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项
B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直
线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD
上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以
GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
⊂
3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．共面或异面
解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨
设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，
所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.
4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥
平面EFGH时，下列结论中正确的是 ( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，
则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
5．若直线 l∥平面 α，则过 l作一组平面与 α相交，记所得的交线分别为 a，b，
c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知 l∥a，l∥b，
l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
6．在正方体ABCDABC D 中，E、F分別是对角线AD、BD 的中点，则正方体6
1 1 1 1 1 1 1
个表面中与直线EF平行的平面有________________．
解析：如图，连接AC ，C D，
1 1 1
所以F为AC 的中点，
1 1
在△AC D中，EF为中位线，
1 1
所以EF∥C D，又EF⊄平面C CDD ，
1 1 1
C D 平面C CDD ，所以EF∥平面C CDD .
1 1 1 1 1
同理，EF∥平面ABBA.
⊂ 1 1
故与EF平行的平面有平面C CDD 和平面ABBA.
1 1 1 1
答案：平面C CDD 和平面ABBA
1 1 1 1
7．如图，在正方体ABCDABC D 中，AB＝2，点E为AD的中点，
1 1 1 1
点F在CD上．若EF∥平面ABC，则线段EF的长度等于________．
1
解析：因为在正方体ABCDABC D 中，AB＝2，所以AC＝2.又E
1 1 1 1
为 AD 的中点，EF∥平面 ABC，EF 平面 ADC，平面 ADC∩平面
1
ABC＝AC，所以EF∥AC，
1 ⊂
所以F为DC的中点，
所以EF＝AC＝.
答案：
8.如图，正方体ABCDABC D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在
1 1 1 1
CD上，若EF∥平面ABC，则线段EF的长度等于________．
1
解析：因为EF∥平面ABC，EF 平面ACD，平面ACD∩平面ABC＝
1 1
AC，
⊂
所以EF∥AC，又E为AD的中点，AB＝2，
所以EF＝AC＝×＝.
答案：
9．如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝
2FD，求证：BE∥平面AFC.证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点 G，连接
EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.
在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，
则EG∥FC.
在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．
在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，
则BE∥MO.
又MO 平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.
10．如图，在正方体 ABCDABC D 中，E，F分别是棱 BC，
⊂ 1 1 1 1
C D 的中点，求证：EF∥平面BDD B.
1 1 1 1
解：如图，取DB 的中点O，连接OF，OB.
1 1
因为OF\s\do3(═)BC ，BE\s\do3(═)BC ，
1 1 1 1
所以OF\s\do3(═)BE，所以四边形OFEB是平行四边形，所以EF∥BO.
因为EF⊄平面BDD B，BO 平面BDD B，
1 1 1 1
所以EF∥平面BDD B.
1 1 ⊂
[B 能力提升]
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的
点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选A.因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因
为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
⊂
12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线( )
⊂
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，一定不在α内
C．只有一条，一定在α内
D．有无数条，一定在α内
解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在
α内．
13.如图所示，P为矩形 ABCD所在平面外一点，矩形对角线
的交点为 O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：① OM∥PD；
② OM∥平面 PCD；③ OM∥平面 PDA；④ OM∥平面 PBA；
⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD
中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，
且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平
面PBA、平面PBC均相交．
14.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，
∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段
AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
证明：因为EF∥AB，
FG∥BC，EG∥AC，
∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于 AB＝
2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，
由于FG∥BC，FG＝BC，在 ▱ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.
又FA 平面ABFE，GM⊄平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
⊂
[C 拓展探究]
15．如图，斜三棱柱ABCABC 中，点D 为AC 上的点．当等于何值时，BC ∥平面
1 1 1 1 1 1 1
ABD
1 1?
解：如图，取D 为线段AC 的中点，此时＝1.
1 1 1
连接AB交AB 于点O，连接OD .
1 1 1
由棱柱的性质，知四边形 AABB 为平行四边形，所以点 O为
1 1
AB的中点．
1在△ABC 中，点O，D 分别为AB，AC 的中点，
1 1 1 1 1 1
所以OD ∥BC .
1 1
又因为OD 平面ABD，BC ⊄平面ABD，
1 1 1 1 1 1
所以BC ∥平面ABD.
1 ⊂ 1 1
所以当＝1时，BC ∥平面ABD.
1 1 1
