文档内容
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点 学习目标 核心素养
了解空间两条直线间的位置关系，理
空间两直线的位置关系 直观想象
解异面直线的定义
了解直线与平面之间的三种位置关
系，并能判断直线
直线与平面的位置关系 直观想象、逻辑推理
与平面的位置关系，会用符号语言和
图形语言表示
了解平面与平面之间的两种位置关
系，并能判断两个平面
平面与平面的位置关系 直观想象、逻辑推理
的位置关系，会用符号语言和图形语
言表示
问题导学
预习教材P128－P131的内容，思考以下问题：
1．空间两直线有哪几种位置关系？
2．直线与平面的位置关系有哪几种？
3．平面与平面的位置关系有哪几种？
4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？
5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线
①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
②画法：(通常用平面衬托)
(2)空间两条直线的位置关系
■名师点拨
(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即
⊂ ⊂a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
直线a在
位置关系 直线a与平 直线a与
平面α内
面α相交 平面α平行
有且只有
公共点 无数个公共点 没有公共点
一个公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
⊂
图形表示
■名师点拨
一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平
面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不
画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在
表示平面α的平行四边形外．
3．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
■名师点拨
(1)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
(2)以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平
面．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线没有公共点．( )
(2)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．( )
(4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线．( )
(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．( )
(6)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．( )(7)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.( )
(8)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α. ( )
(9)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．( )
(10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)× (8)√ (9)× (10)×
异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选D.对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共
面)，另一个是异面，所以A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，
既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排
除．对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的
一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除．只有D符合定义．
正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：选B.前后两个面、左右两个面、上下两个面都平行．
直线a∥b，b α，则a与α的位置关系是( )
A．a∥α B．a与α相交
⊂
C．a与α不相交 D．a α
解析：选C.当直线a∥b，b α时，直线a与平面α的位置关系有可能是a∥α或a α，不可
⊂
能相交，所以选C.
⊂ ⊂
正方体ABCDABCD 的各个面中与直线AB 平行的平面有________个．
1 1 1 1 1 1
解析：由正方体图形特点，知直线AB 与平面CCDD和平面ABCD平行．
1 1 1 1
答案：2
空间两直线位置关系的判定
如图，在长方体ABCDABCD 中，判断下列直线的位置关
1 1 1 1
系：
①直线AB与直线DC的位置关系是________；
1 1
②直线AB与直线BC的位置关系是________；
1 1
③直线DD与直线DC的位置关系是________；
1 1
④直线AB与直线BC的位置关系是________．
1
【解析】 经探究可知直线AB与直线DC在平面ABCD 中，且没有交点，则两直线平行，
1 1 1 1所以①应该填“平行”；点A、B、B 在平面ABB 内，而C不在平面ABB 内，则直线AB与
1 1 1 1 1 1 1
直线BC异面．同理，直线AB与直线BC异面．所以②④应该填“异面”；直线DD与直线
1 1 1
DC相交于D 点，所以③应该填“相交”．
1 1
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实
4(下节学习)判断．
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平 面内不
经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为 A∉α，B∈α， l α ，
B∉l AB与l是异面直线(如图)． ⊂
⇒
1．三棱锥ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
解析：选A.三棱锥ABCD的六条棱所在直线中，
成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，
所以三棱锥ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．故选A.
2．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：选D.a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，但
a与c异面、相交都有可能．
直线与平面的位置关系
下列命题：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b α，则a∥α；
④若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
⊂
其中真命题的个数为( )
⊂A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一
定平行于α，所以①是假命题．
因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以
②是假命题．
因为直线a∥b，b α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平
行于α，所以③是假命题．
⊂
因为a∥b，b α，所以a α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是
真命题．
⊂ ⊂
综上，真命题的个数为1.
【答案】 A
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
(1)在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，
这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．
(2)解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的
空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
1．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
解析：选D.如图所示，长方体ABCDABCD 中，AB∥平面AC，
1 1 1 1 1 1
AD∥平面AC，
1 1
有AB∩AD ＝A ；又DC∥平面AC，有AB∥DC ；取BB 和CC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
的中点M，N，则MN∥BC，
则MN∥平面AC，有AB 与MN异面．
1 1
2．下列命题正确的个数为( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.如图所示，
借助长方体模型来判断．棱 AA 所在直线有无数个点在平面
1
ABCD外，但棱AA 所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确．
1
AB∥AB，AB 所在直线平行于平面 ABCD，但直线 AB 平面
1 1 1 1
ABCD，所以命题②不正确．
⊂
直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确．
平面与平面的位置关系
已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的
位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【解析】 如图，可能会出现以下两种情况：
【答案】 C
1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，
则两平面的位置关系如何？
解：如图，a α，b β，a，b异面，则两平面平行或相交．
⊂ ⊂
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与
平面β的关系是什么？
解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．
由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α
与平面β的关系是什么？
解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所
以平面α与平面β平行．
(1)平面与平面的位置关系的判断方法
①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
(2)常见的平面和平面平行的模型
①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
②长方体的六个面中，三组相对面平行．下列说法中正确的个数是( )
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；
②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；
④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.①中，交线也可能是1条；②a也可能在经过b的平面内；③中a不平行于平
面α，则a可能在平面α内，平面α内有与a平行的直线；④中，a可能在β内．故四个命题都
是错误的，选A.
点、线、面位置关系图形的画法
如图所示，G是正方体ABCDABCD 的棱DD 延长线上的一点，E，F是棱AB，
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BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
(1)过点G及AC.
(2)过三点E，F，D.
1
【解】 (1)画法：连接GA交AD 于点M，连接GC交CD 于点N；连接MN，AC，则
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MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接DP交CC 于点M，
1 1
连接DQ交AA 于点N；连接MF，NE，则DM，MF，FE，EN，ND 为所求平面与正方体表面
1 1 1 1
的交线．如图②所示．
直线与平面位置关系的图形的画法
(1)画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能
有部分在这个平行四边形外．
(2)画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．
(3)画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行
四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．
如图，在正方体ABCDABCD 中，E是
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AA 的中点，画出过D，C，E的平面与平面ABBA 的交线，并说明理由．
1 1 1 1
解：如图，取AB的中点F，连接EF，AB，CF.
1
因为E是AA 的中点，所以EF∥AB.
1 1
在正方体ABCDABCD 中，
1 1 1 1
AD∥BC，AD＝BC，
1 1 1 1
所以四边形ABCD 是平行四边形．
1 1
所以AB∥CD，
1 1
所以EF∥CD.
1
所以E，F，C，D 四点共面．
1
因为E∈平面ABBA，E∈平面DCE，
1 1 1
F∈平面ABBA，F∈平面DCE，
1 1 1
所以平面ABBA∩平面DCE＝EF.
1 1 1
所以过点D，C，E的平面与平面ABBA 的交线为EF.
1 1 1
1．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
解析：选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有( )
A．l∥α B．l α
C．l与α相交 D．以上都有可能
⊂
解析：选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故
选C.
3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是( )
A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面
解析：选D.如图：
4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为
( )
A．平行 B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直
线在平面内．
5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．
答案：异面
6．下列命题正确的是________．(填序号)
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．
解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，
所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相
交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．
答案：①
[A 基础达标]
1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
答案：B
2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则( )
A．a∥c B．a，c是异面直线
C．a，c相交 D．a，c平行或相交或异面
解析：选D.如图，可借助长方体理解，令a＝CC ，b＝AB ，则BC，
1 1 1
AD，DD 均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交
1
或异面．
3．已知异面直线a，b，有a α，b β且α∩β＝c，则直线c与a，b
的关系是( )
⊂ ⊂
A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
解析：选D.若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以
b∥c.所以a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．
4．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面( )
A．只有一个 B．恰有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
解析：选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件
的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.
5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
解析：选C.如图所示，可以将空间划分为7部分．
6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．
①若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
②若α∥β，a α，则a∥β；
⊂ ⊂
③若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
⊂
解析：①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误；②中直线a
⊂
与平面β没有公共点，所以a∥β，故②正确；③中直线a与平面β有可能平行，故③错误．
答案：②
7．下列命题：
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有两条交线；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
解析：对于①，当β∥γ时，有2条交线；当β∩γ＝a且a α时，有1条交线；当α、β、γ
两两相交且不过同一条直线时，有3条交线(如棱柱的三个侧面)，故①错误；
⊂
对于②，可借助正方体ABCDABCD 进行判断，如图所示．
1 1 1 1
因为六面体 ABCDABCD 是正方体，所以 AB∥平面 DCCD ，
1 1 1 1 1 1
BC∥平面AADD.因为AB与BC 异面，而平面DCCD 与平面AADD
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
相交，所以命题②错误，综上可知①②都错误．
答案：①②8．若直线a 平面α，直线b 平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是__________．
解析：在正方体ABCDABCD 中，AB 平面ABCD，BC 平面ABCD ，BC 平面
⊂ 1 ⊂1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
BCCB ，AB，BC 是异面直线，但平面ABCD∥平面ABCD ，平面ABCD与平面BCCB 相
1 1 1 1 ⊂ 1 1 1 1 ⊂ ⊂1 1
交．
答案：平行或相交
9．完成下列作图．
(1)在图中画出两个平行平面．
(2)在图中画出两个相交平面．
(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．
(4)在图中画出三个两两相交的平面．
解：
10.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a
与β的关系并证明你的结论．
解：a∥b，a∥β.
证明如下：由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
⊂ ⊂
因为α∥β，a α，b β，所以a、b无公共点．
⊂ ⊂
又因为a γ且b γ，所以a∥b.
⊂ ⊂
因为α∥β，所以α与β无公共点．
⊂ ⊂
又a α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
[B 能力提升]
⊂11．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：选C.若两点所在的直线与平面平行，则可以作1个，否则，为0个．
12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．7个
解析：选D.把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：
第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．
图(1) 图(2)
第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．
综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D.
13．如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN
是异面直线的图形是________．
解析：①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．
答案：②④
14．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，求直线EF与正
方体的六个面所在的平面相交的平面个数．
解：取CD的中点为G，连接FG，EG，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平
面平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行，所以直线EF与正方体的前、后侧面
及上、下底面所在的平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
[C 拓展探究]
15.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，
B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？
证明你的结论．
解：平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：因为AB与l不平行，且AB α，l α，
所以AB与l一定相交．设AB∩l＝P(图略)，则P∈AB，P∈l.又因为AB 平面ABC，l β，
⊂ ⊂
所以P∈平面ABC，P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β
⊂ ⊂
的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
所以平面ABC与平面β的交线与l相交．
