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6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.设向量e 与e 不共线,若3xe+(10-y)e=(4y-7)e+2xe,则实数x,y的值分别为( )
1 2 1 2 1 2
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
答案D
解析因为向量e 与e 不共线,
1 2
{3x=4 y-7, {x=3,
所以 解得
10- y=2x, y=4.
2 1
2.如图所示,在△ABC中,AD= AB,BE= BC,则⃗DE =( )
3 2
1 1
A. ⃗AC- ⃗AB
3 2
1 1
B. ⃗AC- ⃗AB
3 6
1 1
C. ⃗AC- ⃗AB
2 3
1 1
D. ⃗AC- ⃗AB
2 6
答案D
1 1 1 1
解析⃗DE=⃗DB+⃗BE= ⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)= ⃗AC- ⃗AB.
3 2 2 6
3.如图,平面内的两条相交直线OP
1
和OP
2
将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设⃗OP
=m⃗OP +n⃗OP ,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足( )
1 2A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
答案B
解析如图所示,利用平行四边形法则,
将⃗OP分解到⃗OP 和⃗OP 上,有⃗OP=⃗OA+⃗OB,
1 2
则⃗OA=m⃗OP ,⃗OB=n⃗OP ,
1 2
很明显⃗OA与⃗OP 方向相同,则m>0;
1
⃗OB与⃗OP 方向相反,则n<0.
2
4.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:
①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);
②若x,x,y,y∈R,a=(x,y)≠(x,y),则x≠x,且y≠y;
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案A
解析由平面向量基本定理,知①正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以
a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故③错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点
为前提的,故④错误.
5.已知a=xe+2e 与b=3e+ye 共线,且e,e 不共线,则xy的值为 .
1 2 1 2 1 2
答案6
解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,
即xe+2e=3λe+λye,
1 2 1 2
{x=3λ, 2
所以 故xy=3λ· =6.
2=λy, λ
6.如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设⃗OA=e,⃗OB=e,以{e,e}为基底来表示⃗OC= ,⃗OD
1 2 1 2
= .
2 1 1 2
答案 e+ e e+ e
1 2 1 2
3 3 3 3
1 1 2 1
解析⃗OC=⃗OA+⃗AC=⃗OA+ ⃗AB=e
1
+ (e
2
-e
1
)= e
1
+ e
2
,
3 3 3 3
1
⃗OD=⃗OC+⃗CD=⃗OC+ ⃗AB
3
(2 1 ) 1 1 2
= e + e + (e-e)= e+ e.
3 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2
7.设e,e 是两个不共线的非零向量,且a=e-2e,b=e+3e.
1 2 1 2 1 2
(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e-e 的分解式.
1 2
(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),
则e-2e=λ(e+3e).
1 2 1 2
{
λ=1,
由e 1 ,e 2 不共线,得{ λ=1, 即 2
3λ=-2, λ=- .
3
所以λ不存在,故a,b不共线,
即{a,b}可以作为一个基底.
(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e-e=m(e-2e)+n(e+3e)
1 2 1 2 1 2
=(m+n)e+(-2m+3n)e.
1 2
{ 3=m+n, {m=2,
所以 解得
-1=-2m+3n, n=1.
故c=2a+b.
8.
2
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,⃗AE= ⃗AD,⃗AB=a,⃗AC =b.
3
(1)用a,b表示⃗AD,⃗AE,⃗AF,⃗BE,⃗BF;(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解如图,延长AD到点G,使⃗AG=2⃗AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则⃗AG=a+b,
1 1 2 1
⃗AD= ⃗AG= (a+b),⃗AE= ⃗AD= (a+b),
2 2 3 3
1 1
⃗AF= ⃗AC= b,
2 2
1 1
⃗BE=⃗AE-⃗AB= (a+b)-a= (b-2a),
3 3
1 1
⃗BF=⃗AF-⃗AB= b-a= (b-2a).
2 2
2
(2)证明由(1)知,⃗BE= ⃗BF,∴⃗BE,⃗BF 共线.
3
又⃗BE,⃗BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.
能力提升
⃗OB+⃗OC
1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足⃗OP= +λ⃗AP(λ∈(0,+∞)),
2
则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案C
1
解析设线段BC的中点为D,则有⃗OD= (⃗OB+⃗OC),因此由已知得⃗OP=⃗OD +λ⃗AP ,即⃗OP-⃗OD =λ
2
⃗AP,于是⃗DP=λ⃗AP,则⃗DP∥⃗AP,因此P点在直线AD上,又AD是△ABC的BC边上的中线,因此点P
的轨迹一定经过三角形ABC的重心.
2.
如图,平面内有三个向量⃗OA,⃗OB,⃗OC,其中⃗OA与⃗OB的夹角为120°,⃗OA与⃗OC的夹角为30°,且|
⃗OA|=|⃗OB|=1,|⃗OC|=2❑√3,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于 .
答案6解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则⃗OC=⃗OD+⃗OE.
在Rt△OCD中,因为|⃗OC|=2❑√3,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|⃗OD|=4,|⃗CD|=2,
故⃗OD=4⃗OA,⃗OE=2⃗OB,
即λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
3.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM
的值.
解设⃗BM=e,⃗CN=e,则⃗AM=⃗AC+⃗CM=-3e-e,⃗BN=⃗BC+⃗CN=2e+e.∵A,P,M和B,P,N分别共线,
1 2 2 1 1 2
∴存在实数λ,μ,使⃗AP=λ⃗AM=-λe-3λe,
1 2
⃗BP=μ⃗BN=2μe
1
+μe
2
,
∴⃗BA=⃗BP-⃗AP=(λ+2μ)e+(3λ+μ)e.
1 2
又⃗BA=⃗BC+⃗CA=2e+3e,
1 2
4
{λ= ,
∴{λ+2μ=2,
解得
5
3λ+μ=3, 3
μ= .
5
4
∴⃗AP= ⃗AM,即AP∶PM=4∶1.
5
4.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有⃗OP=x⃗OA+y⃗OB.证明:点P必在△OAB内部.
x y x y
证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则 + =1.设P'为平面内一点,且⃗OP'= ⃗OA+ ⃗OB,
t t t t
则⃗AP'=⃗OP'-⃗OA= (x -1 )⃗OA+ y ⃗OB= y (⃗OB-⃗OA)= y ⃗AB,所以点P'在直线AB上.又 y
t t t t t
∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).
因为⃗OP=x⃗OA+y⃗OB=t ⃗OP',t∈(0,1),
即点P在线段OP'上(异于端点),所以点P必在△OAB内部.
