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6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是 ( )
A.a-c与b共线 B.b+c与a共线
C.a与b-c共线 D.a+b与c共线
答案C
解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).
1
∴b-c= a.∴a与b-c共线.
2
2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当⃗AB=a+2b时,点B的坐标为( )
A.(2,7) B.(0,-7)
C.(3,-6) D.(-4,5)
答案B
解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),
∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).
设点B的坐标为(x,y),
则⃗AB=(x+1,y+5),
∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),
{ x+1=1, { x=0,
∴ 解得
y+5=-2, y=-7.
∴点B的坐标为(0,-7).
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于( )
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
答案D
解析∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
{2x-5+9=0, {x=-2,
即 ∴
2y+6-6=0, y=0,
即c=(-2,0).故选D.m
4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则 等于( )
n
1 1
A.-2 B.2 C.- D.
2 2
答案C
解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),
所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).
因为a-2b与非零向量ma+nb共线,
2m-n 3m+2n m 1
所以 = ,解得14m=-7n, =- .
4 -1 n 2
5.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且⃗BC=2⃗AD,则顶点D的坐标为( )
( 7) ( 1)
A. 2, B. 2,-
2 2
C.(3,2) D.(1,3)
答案A
解析设顶点D的坐标为(x,y),
因为⃗BC=(4,3),⃗AD=(x,y-2),且⃗BC=2⃗AD,
{x=2,
{ 2x=4,
所以 所以 7 所以选A.
2y-4=3, y= ,
2
6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
1
答案
2
解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
1
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ= .
2
7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b= .
答案(14,7)
解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,
所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).
故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).
8.已知⃗OA=(-2,m),⃗OB=(n,1),⃗OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .
9
答案9或
2
解析 ⃗AB=⃗OB-⃗OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),
⃗BC=⃗OC-⃗OB=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为A,B,C共线,所以⃗AB与⃗BC共线,
所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①又m=2n, ②
{m=3,
{m=6,
解①②组成的方程组得 或 3
n=3 n= .
2
9
所以m+n=9或m+n= .
2
1 1
9.已知点A(-1,2),B(2,8),及⃗AC= ⃗AB,⃗DA=- ⃗BA,求点C,D和⃗CD 的坐标.
3 3
解设点C,D的坐标分别为(x,y),(x,y),
1 1 2 2
则⃗AC=(x+1,y-2),⃗AB=(3,6),⃗DA=(-1-x ,2-y ),⃗BA=(-3,-6).
1 1 2 2
1 1 1 1
∵⃗AC= ⃗AB,⃗DA=- ⃗BA,∴(x
1
+1,y
1
-2)= (3,6),(-1-x
2
,2-y
2
)=- (-3,-6),
3 3 3 3
即(x+1,y-2)=(1,2),(-1-x ,2-y )=(1,2).
1 1 2 2
{x +1=1,{-1-x =1, {x =0,{x =-2,
∴ 1 2 ∴ 1 2
y -2=2, 2- y =2. y =4, y =0.
1 2 1 2
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
故⃗CD=(-2,-4).
10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x的值,使向量⃗AB与⃗CD共线;
(2)当向量⃗AB与⃗CD共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?
解(1)⃗AB=(x,1),⃗CD=(4,x).
∵⃗AB∥⃗CD,∴x2=4,x=±2.
(2)由已知得⃗BC=(2-2x,x-1),
当x=2时,⃗BC=(-2,1),⃗AB=(2,1),
∴⃗AB和⃗BC不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.
当x=-2时,⃗BC=(6,-3),⃗AB=(-2,1),
∴⃗AB∥⃗BC,此时A,B,C三点共线.
又⃗AB∥⃗CD,∴A,B,C,D四点在一条直线上.
综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.
11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设⃗AB=a,⃗BC=b,⃗CA=c,且⃗CM=3c,⃗CN=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及⃗MN的坐标.
解a=⃗AB=(5,-5),b=⃗BC=(-6,-3),c=⃗CA=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=mb+nc,
∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).{ 5=-6m+n, {m=-1,
∴ ∴
-5=-3m+8n, n=-1.
(3)设M(x,y),由⃗CM=3c,
1 1
{ x +3=3,
得(x+3,y+4)=3(1,8),∴ 1
1 1 y +4=24.
1
∴x=0,y=20.∴M(0,20).
1 1
同理,设N(x,y),由⃗CN=-2b,
2 2
得(x+3,y+4)=-2(-6,-3).
2 2
{x +3=12, {x =9,
∴ 2 解得 2
y +4=6, y =2.
2 2
∴N(9,2).∴⃗MN=(9,-18).
12.
1 1
如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),⃗OC= ⃗OA,⃗OD= ⃗OB,AD与BC相交于点M,求点M的坐
4 2
标.
解因为⃗OC= 1 ⃗OA= 1 (0,5)= ( 0, 5) ,所以C ( 0, 5) .因为⃗OD= 1 ⃗OB= 1 (4,3)= ( 2, 3) ,所以D
4 4 4 4 2 2 2
( 3)
2, .
2
设M(x,y),则⃗AM=(x,y-5),⃗CM= ( x,y- 5) ,⃗CB= ( 4, 7) ,⃗AD= ( 2, 3) -(0,5)= ( 2,- 7) .因为
4 4 2 2
7
⃗AM∥⃗AD ,所以- x-2(y-5)=0,
2
即7x+4y=20. ①
因为⃗CM∥⃗CB,
7 ( 5)
所以 x-4 y- =0,即7x-16y=-20. ②
4 4
12 (12 )
联立①②,解得x= ,y=2,故点M的坐标为 ,2 .
7 7
能力提升
1.已知点A(❑√3,1),B(0,0),C(❑√3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设⃗BC=λ⃗CE,则λ等于(
)1 1
A.2 B. C.-3 D.-
2 3
答案C
解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,
1 ❑√3
∴|EC|= = .
tan60° 3
∵⃗BC=λ⃗CE,λ<0,
|⃗BC| ❑√3
=
∴|λ|= =3.∴λ=-3.
|⃗CE| ❑√3
3
2.设向量a=(a,b),b=(a,b),定义一种运算“”,向量ab=(a,b)(a,b)=(ab,ab).已知m=
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
( 2, 1) ,n= (π ,0 ) ,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足⃗OQ=m
2 3
⃗OP+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )
1
A.-1 B.-2 C.2 D.
2
答案B
解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),
(1 ) (π ) (1 π )
则⃗OQ=m⃗OP+n= x,2sinx + ,0 = x+ ,2sinx .又因为点Q在y=f(x)的图象
2 3 2 3
(1 π)
上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin x+ .所以函数y=f(x)的最小值为-2.
2 3
π
3.设向量⃗OA 绕点O逆时针旋转 得向量⃗OB ,且2⃗OA+⃗OB =(7,9),且向量⃗OB = .
2
( 11 23)
答案 - ,
5 5
解析设⃗OA=(m,n),则⃗OB=(-n,m),
23
{m= ,
所以2⃗OA+⃗OB =(2m-n,2n+m)=(7,9),即{2m-n=7, 解得 5 因此⃗OB= ( - 11 , 23).
m+2n=9, 11 5 5
n= .
51
4.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且⃗AC= ⃗BC,连接DC延长至E,使|⃗CE |=
2
1
|⃗ED|,则点E的坐标为 .
4
(8 )
答案 ,-7
3
1 { x =3,
解析设C(x,y),依题意有(x-2,y+1)= (x-1,y-4),解得 1 即C(3,-6).
1 1 1 1 2 1 1 y =-6,
1
1
又依题意可得⃗EC= ⃗DE,
4
1
设E(x,y),所以(x-3,y+6)= (x-4,y+3),
0 0 0 0 0 0
4
{ 8
解得 x 0 = 3 , 故点E坐标为 (8 ,-7 ) .
3
y =-7,
0
5.
如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
解法一由O,P,B三点共线,
可设⃗OP=λ⃗OB=(4λ,4λ),
则⃗AP=⃗OP-⃗OA=(4λ-4,4λ),⃗AC=⃗OC-⃗OA=(-2,6).
由⃗AP与⃗AC共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
3 3
解得λ= ,所以⃗OP= ⃗OB=(3,3),
4 4
所以点P的坐标为(3,3).
解法二设P(x,y),则⃗OP=(x,y),因为⃗OB=(4,4),
x y
且⃗OP与⃗OB 共线,所以 = ,即x=y.
4 4
又⃗AP=(x-4,y),⃗AC=(-2,6),且⃗AP与⃗AC共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
6.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求
向量⃗AB,⃗BC的坐标.
解如图所示,以点O为原点,⃗OA所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.∵|⃗OB|=1,∠AOB=150°,
∴B(-cos 30°,sin 30°),
( ❑√3 1)
∴B - , .
2 2
∵|⃗OC|=3,
∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),
( 3 3 )
即C - ,- ❑√3 .又A(2,0),
2 2
( ❑√3 1)
∴⃗AB= - , -(2,0)=
2 2
( - ❑√3 -2, 1) ,⃗BC= ( - 3 ,- 3 ❑√3 ) - ( - ❑√3 , 1) = (❑√3-3 , -3❑√3-1) .
2 2 2 2 2 2 2 2
