6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥b
C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)
答案D
解析由a-b=(-2,-1),易得a·(a-b)=0,
故a⊥(a-b),选D.
2.a,b为平面向量,已知a=(1,2),b=(1,0),则a,b夹角的余弦值等于( )
❑√5 ❑√5 1 1
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
答案A
a·b 1×1 ❑√5
解析根据向量数量积的运算,设a,b向量的夹角为θ,则cos θ= = = .
|a||b| ❑√5 5
3.已知⃗AB=(2,3),⃗AC=(3,t),|⃗BC|=1,则⃗AB·⃗BC= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案C
解析由⃗BC=⃗AC-⃗AB=(1,t-3),|⃗BC|=❑√12+(t-3)2=1,得t=3,则⃗BC=(1,0).所以⃗AB·⃗BC
=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.在平行四边形ABCD中,⃗AB=(1,0),⃗AC=(2,2),则⃗AD·⃗BD 等于( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
答案A
解析如图,由向量的加减,可得⃗AD=⃗BC=⃗AC-⃗AB=(1,2),⃗BD=⃗AD-⃗AB=⃗AC-⃗AB-⃗AB=⃗AC-2
⃗AB=(0,2).
故⃗AD·⃗BD=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
5.在矩形ABCD中,AB=2❑√3,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则⃗AE·⃗AF的取
值范围是( )
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
答案A
解析如图,A(0,0),E(2❑√3,1),设F(x,2)(0≤x≤2❑√3),所以⃗AE=(2❑√3,1),⃗AF=(x,2),因此⃗AE·⃗AF=2❑√3x+2,
设f(x)=2❑√3x+2(0≤x≤2❑√3),f(x)为增函数,
则f(0)=2,f(2❑√3)=14,故2≤f(x)≤14,⃗AE·⃗AF的取值范围是[2,14].
6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.❑√5 B.❑√10 C.2❑√5 D.10
答案B
解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),
故有|a+b|=❑√32+(-1)2=❑√10,故选B.
7.已知三点O(0,0),A(2,2),B(5,6),则|⃗OB-⃗OA|= .
答案5
解析由题意得⃗OB-⃗OA=⃗AB=(3,4),
∴|⃗OB-⃗OA|=|⃗AB|=❑√9+16=5.
8.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|= .
答案❑√5
解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=❑√22+(-1)2=❑√5.
9.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y= .
答案2
解析a·b=-1+3y,|a|=❑√10,|b|=❑√1+ y2,
∵a与b的夹角为45°,
a·b -1+3 y ❑√2
∴cos 45°= = = .
|a||b| ❑√10×❑√1+ y2 2
1
解得y=2或y=- (舍去).
2
10.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2❑√5.
综上,|a-b|=2或2❑√5.
(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.
又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.
(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴⃗AB=(1,1),⃗AD=(-3,3).
又⃗AB·⃗AD=1×(-3)+1×3=0,
∴⃗AB⊥⃗AD,∴AB⊥AD.
(2)解∵⃗AB⊥⃗AD,四边形ABCD为矩形,
∴⃗AB=⃗DC.
设点C的坐标为(x,y),则⃗DC=(x+1,y-4).
{x+1=1, {x=0,
又⃗AB=(1,1),∴ 解得
y-4=1, y=5.
∴点C的坐标为(0,5).
∴⃗AC=(-2,4),⃗BD=(-4,2),
∴|⃗AC|=2❑√5,|⃗BD|=2❑√5,⃗AC·⃗BD=8+8=16.设⃗AC与⃗BD的夹角为θ,
⃗AC·⃗BD 16 4
则cos θ= = = .故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为
|⃗AC||⃗BD| 2❑√5×2❑√5 5
4
.
5
能力提升
1.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足
⃗BA+⃗BC=2⃗BP,则⃗PC·⃗PD=( )
A.-❑√2 B.-1
C.-2 D.-2❑√2
答案B
解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以
B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以⃗BA=(0,2),⃗BC=(2,0),因为⃗BA+⃗BC=2⃗BP,所以2⃗BP
=(0,2)+(2,0)=(2,2),故⃗BP=(1,1),故P(1,1),⃗PD=(0,1),⃗PC=(1,-1),
所以⃗PC·⃗PD=0×1+1×(-1)=-1.
2.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是( )A.[0,1] B.[-1,1]
C.[-❑√3,❑√3] D.[0,❑√3]
答案C
解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=❑√3,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|
·cos θ=❑√3cos θ,∵cos θ∈[-1,1],
∴(a-b)·c的取值范围为[-❑√3,❑√3].
3.已知向量a=(❑√3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=❑√3,则b= .
(1 ❑√3)
答案 ,
2 2
解析设b=(x,y).
∵|b|=❑√x2+ y2=1,∴x2+y2=1.
∵a·b=❑√3x+y=❑√3,∴x2+[❑√3(1-x)]2=1.
∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.
1 ❑√3
∴x=1,x= ,∴y=0,y= .
1 2 1 2
2 2
∵(1,0)是与x轴平行的向量,舍去,
(1 ❑√3)
∴b= , .
2 2
4.如图,在△ABC中,⃗AB·⃗AC=0,|⃗AB|=8,|⃗AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l
上异于D的任意一点.
(1)求⃗AD·⃗CB的值;
(2)判断⃗AE·⃗CB的值是否为一个常数,并说明理由.
解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|=10,
(7 24)
则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A , ,
5 5
此时⃗AD= ( - 7 ,- 24) ,⃗CB=(-10,0),
5 5
7 ( 24)
所以⃗AD·⃗CB=- ×(-10)+ - ×0=14.
5 5
(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时⃗AE= ( - 7 ,y- 24) ,
5 57 ( 24)
所以⃗AE·⃗CB=- ×(-10)+ y- ×0=14,为常数,故⃗AE·⃗CB的值是一个常数.
5 5
5.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
π
(1)若α= ,求当|m|取最小值时实数t的值;
4
π
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 ?若存在,求出实数t;若不存在,请说
4
明理由.
π (❑√2 ❑√2) 3❑√2
解(1)当α= 时,b= , ,a·b= ,
4 2 2 2
∴|m|=❑√(a+tb)2=❑√5+t2+2ta·b=❑√t2+3❑√2t+5=❑ √ ( t+ 3❑√2) 2 + 1 ,
2 2
3❑√2
∴当t=- 时,|m|取得最小值.
2
(2)假设存在满足条件的实数t.
π (a-b)·(a+tb)
由条件得cos = ,
4 |a-b||a+tb|
∵a⊥b,∴|a-b|=❑√(a-b)2=❑√6,
|a+tb|=❑√(a+tb)2=❑√5+t2,
5-t ❑√2
(a-b)·(a+tb)=5-t,∴ = .
❑√6·❑√5+t2 2
-5±3❑√5
∴t2+5t-5=0,且t<5,得t= .
2
-5±3❑√5
∴存在t= 满足条件.
2
