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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥b
C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)
答案D
解析由a-b=(-2,-1),易得a·(a-b)=0,
故a⊥(a-b),选D.
2.a,b为平面向量,已知a=(1,2),b=(1,0),则a,b夹角的余弦值等于( )
❑√5 ❑√5 1 1
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
答案A
a·b 1×1 ❑√5
解析根据向量数量积的运算,设a,b向量的夹角为θ,则cos θ= = = .
|a||b| ❑√5 5
3.已知⃗AB=(2,3),⃗AC=(3,t),|⃗BC|=1,则⃗AB·⃗BC= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案C
解析由⃗BC=⃗AC-⃗AB=(1,t-3),|⃗BC|=❑√12+(t-3)2=1,得t=3,则⃗BC=(1,0).所以⃗AB·⃗BC
=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.在平行四边形ABCD中,⃗AB=(1,0),⃗AC=(2,2),则⃗AD·⃗BD 等于( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
答案A
解析如图,由向量的加减,可得⃗AD=⃗BC=⃗AC-⃗AB=(1,2),⃗BD=⃗AD-⃗AB=⃗AC-⃗AB-⃗AB=⃗AC-2
⃗AB=(0,2).
故⃗AD·⃗BD=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
5.在矩形ABCD中,AB=2❑√3,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则⃗AE·⃗AF的取
值范围是( )
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
答案A
解析如图,A(0,0),E(2❑√3,1),设F(x,2)(0≤x≤2❑√3),所以⃗AE=(2❑√3,1),⃗AF=(x,2),因此⃗AE·⃗AF=2❑√3x+2,
设f(x)=2❑√3x+2(0≤x≤2❑√3),f(x)为增函数,
则f(0)=2,f(2❑√3)=14,故2≤f(x)≤14,⃗AE·⃗AF的取值范围是[2,14].
6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.❑√5 B.❑√10 C.2❑√5 D.10
答案B
解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),
故有|a+b|=❑√32+(-1)2=❑√10,故选B.
7.已知三点O(0,0),A(2,2),B(5,6),则|⃗OB-⃗OA|= .
答案5
解析由题意得⃗OB-⃗OA=⃗AB=(3,4),
∴|⃗OB-⃗OA|=|⃗AB|=❑√9+16=5.
8.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|= .
答案❑√5
解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=❑√22+(-1)2=❑√5.
9.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y= .
答案2
解析a·b=-1+3y,|a|=❑√10,|b|=❑√1+ y2,
∵a与b的夹角为45°,
a·b -1+3 y ❑√2
∴cos 45°= = = .
|a||b| ❑√10×❑√1+ y2 2
1
解得y=2或y=- (舍去).
2
10.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2❑√5.
综上,|a-b|=2或2❑√5.
(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1
