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6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=( )
7 7 1
A.- B. C.0 D.
25 25 2
答案B
解析如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴⃗DB=(-3,-4),⃗DC=(3,-4).
又∠BDC为⃗DB,⃗DC的夹角,
⃗DB·⃗DC -9+16 7
∴cos∠BDC= = = .
|⃗DB||⃗DC| 5×5 25
2.两个大小相等的共点力F,F,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,
1 2
合力的大小为( )
A.40 N B.10❑√2 N C.20❑√2 N D.❑√10 N
答案B
解析对于两个大小相等的共点力F,F,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可
1 2
知,这两个力的大小都是10❑√2 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边
三角形,因此合力的大小为10❑√2 N.
3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大
小为 ( )
A.10 m/s B.2❑√26 m/s
C.4❑√6 m/s D.12 m/s答案B
解析由题意知|v |=2 m/s,|v |=10 m/s,作出示意图如图.
水 船
∴|v|=❑√102+22=❑√104=2❑√26(m/s).
4.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若⃗OA+⃗OB+⃗OC+⃗OD=0,则下列结论错误的是( )
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
答案ABC
解析由⃗OA+⃗OB+⃗OC+⃗OD=0知,⃗OA+⃗OB=-(⃗OC+⃗OD).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法
的平行四边形法则,知⃗OE+⃗OF=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的
中点,所以O是EF,MN的交点.
( 1)
5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P x,- 在线段AB的中垂线上,则x= .
2
7
答案
4
( 1)
解析设AB的中点为M,则M 1, ,⃗MP=(x-1,-1),由题意可知⃗AB=(-4,-3),⃗MP⊥⃗AB,则⃗MP·⃗AB
2
7
=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x= .
4
6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250❑√2 J,
则F与s的夹角等于 .
π
答案
4
❑√2 π
解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250❑√2=10×50×cos θ,∴cos θ= .又θ∈[0,π],∴θ= .
2 4
7.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且
AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明 ⃗AD·⃗CE=(⃗AC+⃗CD)·(⃗CA+⃗AE)
= (⃗AC+ 1 ⃗CB ) · (⃗CA+ 2 ⃗AB )
2 3
= (⃗AC+ 1 ⃗CB ) · (⃗CA+ 2 ⃗CB- 2 ⃗CA )
2 3 3
= (⃗AC+ 1 ⃗CB ) · (1 ⃗CA+ 2 ⃗CB )
2 3 3
1 1
=- |⃗CA|2+ |⃗CB|2.
3 3
1 1
因为CA=CB,所以- |⃗CA|2+ |⃗CB|2=0,故AD⊥CE.
3 3
8.某人骑车以速度a向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹
来,试求实际风速的大小和方向.
解设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东方向行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感
到的风速为v-2a.如图,设⃗OA=-a,⃗OB=-2a,⃗PO=v.
∵⃗PO+⃗OA=⃗PA,∴⃗PA=v-a,这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速.
∵⃗PO+⃗OB=⃗PB,∴⃗PB=v-2a,这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知
∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,∴△POB为等腰直角三角形,
∴∠APO=45°,|⃗PO|=|⃗PB|=❑√2|a|,即|v|=❑√2|a|.
∴实际风速的大小是❑√2|a|,为西北风.
能力提升
1.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0,则⃗OC·⃗AB的值为( )
1 1 6 6
A.- B. C.- D.
5 5 5 5
答案A
解析因为3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0,
所以3⃗OA+4⃗OB=-5⃗OC,
所以9⃗OA2+24⃗OA·⃗OB+16⃗OB2=25⃗OC2.
因为A,B,C在圆上,所以|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|=1.
代入原式得⃗OA·⃗OB=0,1 1 1
所以⃗OC·⃗AB =- (3⃗OA +4⃗OB )·(⃗OB-⃗OA )=- (3⃗OA·⃗OB +4⃗OB2-3⃗OA2-4⃗OA·⃗OB )=- .
5 5 5
2.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8
km,则河水的流速是 km/h.
答案2❑√3
解析如图,
用v 表示河水的流速,v 表示船的速度,则v=v+v 为船的实际航行速度.
1 2 1 2
由图知,|⃗OA|=4,|⃗OB|=8,则∠AOB=60°.又|v|=2,∴|v|=|v|·tan 60°=2❑√3.即河水的流速是2❑√3
2 1 2
km/h.
3.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC
于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设A(0,2),C(2,0),
则D(1,0),⃗AC=(2,-2).
设⃗AF=λ⃗AC,则⃗BF=⃗BA+⃗AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又⃗DA=(-1,2),由题设⃗BF⊥⃗DA,所以
2 (4 2) (1 2)
⃗BF·⃗DA=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ= .所以⃗BF= , .所以⃗DF=⃗BF-⃗BD= , .又⃗DC
3 3 3 3 3
⃗DA·⃗DB ❑√5 ⃗DF·⃗DC ❑√5
=(1,0),所以cos ∠ADB= = ,cos ∠FDC= = ,
|⃗DA||⃗DB| 5 |⃗DF||⃗DC| 5
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
4.已知e=(1,0),e=(0,1),今有动点P从P(-1,2)开始,沿着与向量e+e 相同的方向做匀速直线运动,速
1 2 0 1 2
度为|e+e|;另一动点Q从Q(-2,-1)开始,沿着与向量3e+2e 相同的方向做匀速直线运动,速度为|
1 2 0 1 2
3e+2e|.设P,Q在t=0 s时分别在P,Q 处,当⃗PQ⊥⃗P Q 时所需的时间t为多少秒?
1 2 0 0 0 0
(❑√2 ❑√2)
解e+e=(1,1),|e+e|=❑√2,其单位向量为 , ;3e+2e=(3,2),|3e+2e|=❑√13,其单位向量为
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( 3 2 )
, .依题意知,|⃗P P|=❑√2t,|⃗Q Q|=❑√13t,
❑√13 ❑√13 0 0
∴⃗P P=|⃗P P| (❑√2 , ❑√2) =(t,t),⃗Q Q=|⃗Q Q| ( 3 , 2 ) =(3t,2t),由P(-1,2),Q(-2,-1),得
0 0 2 2 0 0 ❑√13 ❑√13 0 0
P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴⃗P Q =(-1,-3),⃗PQ=(2t-1,t-3),∵⃗PQ⊥⃗P Q ,∴⃗P Q ·⃗PQ=0,即
0 0 0 0 0 0
2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当⃗PQ⊥⃗P Q 时所需的时间为2 s.
0 0
