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6.4.3 余弦定理、正弦定理
第 1 课时 余弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=❑√13,b=3,A=60°,则c=( )
A.1 B.2 C.4 D.6
答案C
解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为( )
1 ❑√2 ❑√3 ❑√3
A. B. C. D.
2 2 2 3
答案C
a2+b2-c2 1 π ❑√3
解析由余弦定理,得cos C= = .因为C∈(0,π),所以C= ,sin C= .故选C.
2ab 2 3 2
3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是( )
A.a=bcos C+ccos B B.a=bcos C-ccos B
C.a=bsin C+csin B D.a=bsin C-csin B
答案A
a2+b2-c2 a2+c2-b2 2a2
解析bcos C+ccos B=b· +c· = =a.
2ab 2ac 2a
4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
答案A
解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为
a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cos θ=
(a+m)2+(b+m)2-(c+m)2 m2+2m(a+b-c)
= .因为m2>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐
2(a+m)(b+m) 2(a+m)(b+m)
角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.
5.在△ABC中,AB=3,BC=❑√13,AC=4,则边AC上的高为( )
3❑√2 3❑√3 3
A. B. C. D.3❑√3
2 2 2
答案BAB2+AC2-BC2 32+42-13 1
解析在△ABC中,AB=3,BC=❑√13,AC=4,由余弦定理,得cos A= = = ,
2AB·AC 2×3×4 2
3❑√3
∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°= .故选B.
2
6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为 .
2π
答案
3
a2+b2-c2 32+52-72 1 2π
解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cos C= = =- ,且0b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos
(a-4)2+(a-8)2-a2
120°= ,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角
2(a-4)(a-8)
142+102-62 260 13
为C,cos C= = = .
2×14×10 2×14×10 14
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=❑√3ac,则角B的度数为 .
答案60°或120°
❑√3
解析由余弦定理,得2accos B·tan B=❑√3ac,整理,得sin B= ,所以B=60°或120°.
2
10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大
小.
a2+b2-c2 1 1
解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即 = ,所以cos C= ,所以
2ab 2 2
C=60°.
能力提升
1.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=❑√7,则sin∠ABD= .1
答案
2
1
解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD= ∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=
2
AB2+BC2-AC2 32+22-(❑√7)2 1 1 1
= = ,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD= ,所以sin∠ABD= .
2AB·BC 2×3×2 2 2 2
2❑√2
2.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC= ,AB=3❑√2,AD=3,则BD的
3
长为 .
答案❑√3
2❑√2 (π ) 2❑√2 2❑√2
解析因为sin∠BAC= ,且AD⊥AC,所以sin +∠BAD = ,所以cos∠BAD= .
3 2 3 3
在△BAD中,由余弦定理,得
BD=❑√AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD
√ 2❑√2
=❑(3❑√2)2+32-2×3❑√2×3× =❑√3.
3
3.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.
解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,
{2a+1>0,
1
所以 a>0, 解得a> ,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需
2
2a-1>0,
a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=
a2+(2a-1)2-(2a+1)2 a(a-8) 1
= <0,解得
