第 2 课时 正弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于 ( )
22
A.4❑√6 B.4❑√5 C.4❑√3 D.
3
答案A
解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°,
∴A=180°-B-C=45°.
a b asinB 8sin60°
由正弦定理 = ,得b= = =4❑√6.故选A.
sin A sinB sin A sin45°
π
2.在△ABC中,若a=3,b=❑√3 ,A= ,则角C的大小为 ( )
3
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
答案D
π
解析由正弦定理 a = b ,得sin B= bsinA ❑√3sin 3 1 .因为a>b,所以A>B,所以B= π ,所以
sin A sinB = = 6
a 3 2
π π π
C=π- - = .
3 6 2
3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于( )
3 3 3 2
A. B.± C.- D.±
5 5 5 5
答案B
1 1 4 3
解析由S= AB·BC·sin∠ABC,得4= ×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC= ,从而cos∠ABC=± .
2 2 5 5
3 c
4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A= ,则 的值为( )
4 a
1 3
A.2 B. C. D.1
2 2
答案C
c sinC sin2A 2sin AcosA 3 3
解析由正弦定理,得 = = = =2cos A=2× = .
a sin A sin A sin A 4 25.
某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草
皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要( )
A.450a元 B.225a元
C.150a元 D.300a元
答案C
1
解析由已知可求得草皮的面积为S= ×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.
2
6.在△ABC中,若b=2asin B,则A等于( )
A.30°或60° B.45°或60°
C.120°或60° D.30°或150°
答案D
a b
解析由正弦定理,得 = .
sin A sinB
∵b=2asin B,∴sin B=2sin Asin B.
1
∵sin B≠0,∴sin A= .∴A=30°或150°.
2
7.已知△ABC外接圆的半径为1,则sin A∶BC= ( )
A.1∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.无法确定
答案C
BC
解析由正弦定理,得 =2R=2,
sin A
所以sin A∶BC=1∶2.
8.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案B
a b
解析由已知,得 =b= ,所以sin B=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形.
sin A sinB
sin A 3 a+b
9.在△ABC中, = ,则 的值为 .
sinB 2 b
5
答案
2
a+b a sin A 3 5
解析由正弦定理,得 = +1= +1= +1= .
b b sinB 2 210.在△ABC中,B=45°,C =60°,c=1,则最短边的长等于 .
❑√6
答案
3
解析由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理
❑√2
1×
b = c ,得b= csinB = 2 = ❑√6 .
sinB sinC sinC ❑√3 3
2
11.在△ABC中,ab=60,S
△ABC
=15❑√3,△ABC的外接圆半径为❑√3,则边c的长为 .
答案3
1 ❑√3 c
解析∵S
△ABC
= absin C=15❑√3,ab=60,∴sin C= .由正弦定理,得 =2R,则c=2Rsin C=3.
2 2 sinC
❑√3
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+ c=b.
2
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=❑√3,求c的值.
❑√3 ❑√3
解(1)由acos C+ c=b和正弦定理,得sin Acos C+ sin C=sin B.
2 2
∵sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
❑√3 ❑√3
∴ sin C=cos Asin C.∵sin C≠0,∴cos A= .
2 2
π
∵0<A<π,∴A= .
6
π
❑√3sin
(2)由正弦定理,得sin B= .
bsinA 6 ❑√3
= =
a 1 2
π 2π
∴B= 或 .
3 3
π π π
①当B= 时,由A= ,得C= ,∴c=2.
3 6 2
2π π π
②当B= 时,由A= ,得C= ,∴c=a=1.
3 6 6
综上可得,c=1或c=2.
3
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c= a.
7
(1)求sin C的值;
(2)当a=7时,求△ABC的面积.3 csin A 3 ❑√3 3❑√3
解(1)在△ABC中,因为A=60°,c= a,所以由正弦定理,得sin C= = × = .
7 a 7 2 14
3
(2)因为a=7,所以c= ×7=3.
7
1
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3× ,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=
2
1 1 ❑√3
bcsin A= ×8×3× =6❑√3.
2 2 2
能力提升
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的
值为( )
23 25 26 28
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案B
a 4c a c c 4c
解析由3acos C=4csin A,得 = .又由正弦定理 = ,得 = ,∴tan C=
sin A 3cosC sin A sinC sinC 3cosC
csinA 5 25
3 ,∴sin C= 3 .又S= 1 bcsin A=10,b=4,∴csin A=5.根据正弦定理,得a= = = ,故选B.
sinC 3 3
4 5 2
5
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=❑√2,b=2,sin B+cos B=❑√2,则角A的大小为
.
答案30°
a b
解析由sin B+cos B=❑√2,得1+sin 2B=2,所以sin 2B=1,所以B=45°.由正弦定理 = ,得sin
sin A sinB
asinB ❑√2sin45° 1
A= = = .又a<b,所以A<B,所以A=30°.
b 2 2
3.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
分析先将tan B,tan A化为弦函数,再根据正弦定理的变形将边化为角,最后通过三角恒等变换进行判
断.
sinB sin A sinB sin A sin A sinB
解由已知,得a2· =b2· .又由正弦定理,得sin2 A· =sin2 B· ,即 = ,所以
cosB cosA cosB cosA cosB cosA
sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC
是等腰三角形或直角三角形.
4.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(❑√2a-
b)·sin B,求△ABC面积的最大值.
解由正弦定理,得a2-c2=(❑√2a-b)b,
即a2+b2-c2=❑√2ab.a2+b2-c2 ❑√2ab ❑√2
由余弦定理,得cos C= = = .
2ab 2ab 2
π
∵C∈(0,π),∴C= .
4
1 1 ❑√2
∴S= absin C= ×2Rsin A·2Rsin B·
2 2 2
(❑√2 ❑√2 )
=❑√2R2sin Asin B=❑√2R2sinA cosA+ sin A
2 2
=R2(sin Acos A+sin2A)
=R2(1
sin2A+
1-cos2A)
2 2
[❑√2 ( π) 1]
=R2 sin 2A- + .
2 4 2
( 3 ) π ( π 5 )
∵A∈ 0, π .∴2A- ∈ - , π ,
4 4 4 4
∴sin ( 2A- π) ∈ ( - ❑√2 ,1 ] ,∴S∈ ( 0, ❑√2+1 R2 ] ,
4 2 2
❑√2+1
∴△ABC面积的最大值为 R2.
2
