第 3 课时 习题课——正弦定理和余弦定理的综合
应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(❑√3+1)∶2,则最大角为( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
答案C
解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,
则A+C=120°,所以
c sinC sin(120°-A) sin120°cosA-cos120°sin A ❑√3 1 ❑√3+1
= = = = + = ,解得tan
a sin A sin A sin A 2tan A 2 2
A=1,所以A=45°,C=75°.
2.在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是( )
( π) (π π)
A. 0, B. ,
2 6 3
(π π) ( π]
C. , D. 0,
6 2 6
答案D
a c 2 1 1
解析在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理 = ,得 = ,∴sin C= sin A.
sin A sinC sin A sinC 2
( 1]
∵A∈(0,π),∴0<sin A≤1,∴sin C∈ 0, .
2
( π] [5π ) ( π]
结合函数y=sin x的图象可得C∈ 0, ∪ ,π .∵a>c,∴角C是锐角,∴C∈ 0, .故
6 6 6
选D.
B+C
3.在△ABC中,a=2,a·sin (A+B)=c·sin ,则△ABC周长的最大值为( )
2
A.8 B.7 C.6 D.5
答案C
A
解析由题得a·sin C=c·cos ,
2
A A
∴sin A·sin C=sin C·cos ,∴sin A=cos ,
2 2A A A A ( π)
∴2sin cos =cos ,∵ ∈ 0, ,
2 2 2 2 2
A A 1 π
∴cos ≠0,∴sin = ,∴A= .
2 2 2 3
由余弦定理得4=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
(b+c)2
∴(b+c)2=4+3bc≤4+3· ,当且仅当b=c=2时取等号.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.
4
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=(2c-b)cos A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,求△ABC面积的最大值.
解(1)由正弦定理得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,即2sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin
B=sin(A+B),∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sin C≠0,
1 π
∴cos A= .∵A∈(0,π),∴A= .
2 3
1 ❑√3
(2)由(1)知S = bcsin A= bc,
△ABC
2 4
1 b2+c2-a2 2bc-36
由余弦定理得cos A= = ≥ (当且仅当b=c时等号成立),
2 2bc 2bc
∴0<bc≤36(当且仅当b=c时等号成立).
❑√3
∴S
△ABC
的最大值为 ×36=9❑√3.
4
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.
(1)求cos B的值;
(2)若⃗BA·⃗BC=2,且b=2❑√2,求a和c的值.
解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆半径,
则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,
即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,
可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,
即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.
1
又sin A≠0,因此cos B= .
3
(2)由⃗BA·⃗BC=2,得accos B=2.
1
由(1)知cos B= ,故ac=6,
3
由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,
所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=❑√6.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos C+cos Acos B=2❑√2sin Acos B.
(1)求cos B的值;(2)若a+c=2,求b的取值范围.
解(1)因为cos C+cos Acos B=2❑√2sin Acos B,
所以-cos(A+B)+cos Acos B=2❑√2sin Acos B,
即sin Asin B=2❑√2sin Acos B,
因为sin A≠0,所以sin B=2❑√2cos B>0,
1
又因为sin 2B+cos 2B=1,解得cos B= .
3
(2)∵a+c=2,可得c=2-a,
2
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2- ac
3
2 8 4 2❑√3 [2❑√3 )
=a2+(2-a)2- a(2-a)= (a-1)2+ .∵0<a<2,∴ ≤b<2,所以b的取值范围为 ,2 .
3 3 3 3 3
能力提升
a
1.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈(60°,90°),则 取值范围是 .
b
答案(❑√2,❑√3)
解析∵△ABC中,a2=b2+bc,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,∴b2+bc=b2+c2-2bccos A,整理,得c=b(1+2cos A),
∴a2=b2+b2(1+2cos A)=b2(2+2cos A),
a ( 1)
∴ =❑√2+2cosA,∵A∈(60°,90°),∴cos A∈ 0, ,可得2+2cos A∈(2,3),
b 2
a
∴ ❑√2+2cosA ∈(❑√2,❑√3 ),即 ∈(❑√2,❑√3 ).
b
❑√3
2.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b2+c2=accos C+c2cos A+a2,且S = ,则△ABC周
△ABC
2
长的最小值为 .
答案3❑√2
解析由b2+c2=accos C+c2cos A+a2,得b2+c2=c(acos C+ccos A)+a2=bc+a2,即bc=b2+c2-a2.
b2+c2-a2 1 π
故cos A= = ,∴A= .
2bc 2 3
1 ❑√3
由三角形面积公式得 bcsin A= ,bc=2.
2 2
所以三角形的周长a+b+c=
❑√b2+c2-bc+❑√(b+c)2=❑√b2+c2-2+❑√b2+c2+4≥❑√2bc-2+❑√2bc+4=❑√2+❑√8=3❑√2,当且
仅当a=b=c=❑√2时,等号成立.故周长的最小值为3❑√2.
asin A+bsinB-csinC 2❑√3
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 - a=0.
sinBsinC 3(1)求角C;
(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.
asin A+bsinB-csinC 2❑√3
解(1)由 - a=0,
sinBsinC 3
a·a+b·b-c·c 2❑√3 a2+b2-c2 ❑√3
得 = a,即 = sin C,
b·sinC 3 2ab 3
❑√3
由余弦定理,得cos C= sin C,∴tan C=❑√3.
3
π
∵C∈(0,π),∴C= .
3
c2 c
(2)由余弦定理,得b2=1+ -2×1× ·cos∠CEA, ①
4 2
c2 c
a2=1+ -2×1× ·cos∠CEB, ②
4 2
c2
①+②,得b2+a2=2+ ,即2(b2+a2)=4+c2,
2
∵c2=a2+b2-2ab·cos C,∴a2+b2=4-ab≥2ab,
4
∴ab≤ ,当且仅当a=b时取等号.
3
1 1 4 ❑√3 ❑√3
S △ABC = absin C≤ × × = .
2 2 3 2 3
❑√3
△ABC的面积的最大值是 .
3
