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第 3 课时 习题课——正弦定理和余弦定理的综合
应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(❑√3+1)∶2,则最大角为( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
答案C
解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,
则A+C=120°,所以
c sinC sin(120°-A) sin120°cosA-cos120°sin A ❑√3 1 ❑√3+1
= = = = + = ,解得tan
a sin A sin A sin A 2tan A 2 2
A=1,所以A=45°,C=75°.
2.在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是( )
( π) (π π)
A. 0, B. ,
2 6 3
(π π) ( π]
C. , D. 0,
6 2 6
答案D
a c 2 1 1
解析在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理 = ,得 = ,∴sin C= sin A.
sin A sinC sin A sinC 2
( 1]
∵A∈(0,π),∴0c,∴角C是锐角,∴C∈ 0, .故
6 6 6
选D.
B+C
3.在△ABC中,a=2,a·sin (A+B)=c·sin ,则△ABC周长的最大值为( )
2
A.8 B.7 C.6 D.5
答案C
A
解析由题得a·sin C=c·cos ,
2
A A
∴sin A·sin C=sin C·cos ,∴sin A=cos ,
2 2A A A A ( π)
∴2sin cos =cos ,∵ ∈ 0, ,
2 2 2 2 2
A A 1 π
∴cos ≠0,∴sin = ,∴A= .
2 2 2 3
由余弦定理得4=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
(b+c)2
∴(b+c)2=4+3bc≤4+3· ,当且仅当b=c=2时取等号.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.
4
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=(2c-b)cos A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,求△ABC面积的最大值.
解(1)由正弦定理得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,即2sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin
B=sin(A+B),∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sin C≠0,
1 π
∴cos A= .∵A∈(0,π),∴A= .
2 3
1 ❑√3
(2)由(1)知S = bcsin A= bc,
△ABC
2 4
1 b2+c2-a2 2bc-36
由余弦定理得cos A= = ≥ (当且仅当b=c时等号成立),
2 2bc 2bc
∴00,
1
又因为sin 2B+cos 2B=1,解得cos B= .
3
(2)∵a+c=2,可得c=2-a,
2
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2- ac
3
2 8 4 2❑√3 [2❑√3 )
=a2+(2-a)2- a(2-a)= (a-1)2+ .∵0
