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第 4 课时 余弦定理、正弦定理应用举例
课后篇巩固提升
基础巩固
1.
如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离
的是( )
A.角A,B和边b
B.角A,B和边a
C.边a,b和角C
D.边a,b和角A
答案D
解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.
2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得
∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为( )
A.6(3+❑√3)m B.6(3-❑√3)m
C.6(3+2❑√3)m D.6(3-2❑√3)m
答案B
CD BD
{ = , { ❑√3
sin60° sin(90°-60°) BD= CD,
解析由 ⇒ 3 ⇒
CD AD
= AD=CD
sin45° sin(90°-45°)
( ❑√3)
AB=AD+BD= 1+ CD=12 CD=6(3-❑√3)m,故选B.
3
⇒
3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地
面的高度AB等于( )asinαsinβ
A.
sin(β-α)
asinαsinβ
B.
cos(α-β)
asinαcosβ
C.
sin(β-α)
acosαsinβ
D.
cos(α-β)
答案A
a AC asinα
解析在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得 = ,∴AC= ,
sin(β-α) sinα sin(β-α)
asinαsinβ
∴AB=ACsin β= .
sin(β-α)
4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8❑√2 n mile, 之后它继续
沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速
是( )
A.8(❑√6+❑√2)n mile/h B.8(❑√6-❑√2)n mile/h
C.16(❑√6+❑√2)n mile/h D.16(❑√6-❑√2)n mile/h
答案D
解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.
SA AB 8❑√2 AB
由正弦定理,得 = ,即 = ,解得AB=8(❑√6-❑√2),故此船的
sin105° sin45° sin105° sin45°
8(❑√6-❑√2)
航速为
1
=16(❑√6-❑√2 )(n mile/h).
2
5.
如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P
的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为 (
)20
A.20(❑√3-❑√2)m B. m
❑√4-❑√2
20
C. m D.10(❑√3+❑√2)m
❑√4-❑√3
答案C
解析由已知,得AO=❑√3h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos 60°,
20
即400=3h2+h2-❑√3h2,解得h= (m).
❑√4-❑√3
6.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等
待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的
方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ等于( )
❑√21 ❑√21 3❑√21 ❑√21
A. B. C. D.
7 14 14 28
答案B
解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20❑√7.
AB ❑√21
由正弦定理,得sin∠ACB= ·sin∠BAC= .
BC 7
2❑√7
由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB= .故cos θ=cos(∠ACB+30°)
7
❑√21
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°= .
14
7.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若
A处与C处的距离为 ❑√3 n mile,则x的值为 .
答案❑√3或2❑√3
解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即x2+9-2·x·3cos 30°=(❑√3)2,即x2-3❑√3
x+6=0,解得x=2❑√3或x=❑√3.
8.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时
乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行
的时间是 h.
5
答案
14解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B
(6t)2+(10-4t)2-s2 1
岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°= =- ,化
2·6t·(10-4t) 2
20 5
简,得s2=28t2-20t+100,所以当t= = 时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行
2×28 14
5
的时间是 h.
14
9.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km
后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.
解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-
CO BO
36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得 = ,
sin104° sin36°
3sin36°
则BO= .在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得
sin104°
CO AO 3sin54°
= ,则AO= .在△ABO中,由余弦定理,得AB=
sin56° sin54° sin56°
❑√AO2+BO2-2AO·BO·cos30°≈1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630
m.
能力提升
1.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山
顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(
)❑√3 ❑√2
A. B.❑√3-1 C.2-❑√3 D.
2 2
答案B
解析在△ABC中,由正弦定理,得
ABsin∠BAC 100sin15°
BC= = =50(❑√6-❑√2 )(m).在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠ACB sin(45°-15°)
BCsin∠CBD 50(❑√6-❑√2)sin45°
sin∠BDC= = =❑√3-1.由题图知cos
CD 50
θ=sin∠ADE=sin∠BDC=❑√3-1,故选B.
2.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与
炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为 m.
答案10❑√3
解析设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则
∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30 m.
DB DC
在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan 45°= ,tan 30°= ,
AD AD
则DB=30 m,DC=10❑√3 m.
在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos 30°,即BC2=30°+(10❑√3)2-2×30×10
❑√3
❑√3× ,解得BC=10❑√3 m.
2
3.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(❑√3+1)n mile的海面上有一
台风中心,影响半径为20 n mile,正以10❑√2 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心
将从基地东北方向刮过且(❑√3+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.
解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则
B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.
由题意,得AB=20(❑√3+1)n mile,DC=20❑√2 n mile,BC=10❑√2(❑√3+1)n mile.在△ADC中,
∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.AC2+AB2-BC2 ❑√3
在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC= = .∴∠BAC=30°.∵B位于A的南
2AC·AB 2
偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量
⃗CD的方向,即北偏西45°方向.
4.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于
A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点
B,D间的距离.
ACsin120°
解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD= =❑√3.
sin30°
在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,
ACsin60° 3❑√2+❑√6
由正弦定理,得AB= = .在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定
sin15° 2
理,得BD=❑√AB2+AD2-2AB·ADcos75°
√ (3❑√2+❑√6) 2 3❑√2+❑√6 3❑√2+❑√6
=❑ +3-2× ×❑√3cos75°= .即点B,D间的距离为
2 2 2
3❑√2+❑√6
km.
2
(方法二)如图,过点D作DH垂直于水平线于点H,过点B作BE垂直于水平线于点E,记AD与
BC的交点为M.
由外角定理,得∠CDA=∠DCH-∠DAC=60°-30°=30°,所以∠DAC=∠DCH-∠CDA=30°,所以
AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,
所以M为AD的中点,所以BA=BD.
ACsin60° 3❑√2+❑√6
又AB= = ,
sin15° 2
3❑√2+❑√6
所以BD= .
2
3❑√2+❑√6
所以点B,D间的距离为 km.
2
