文档文本内容
10．1.4 概率的基本性质
考点 学习目标 核心素养
概率的性质 理解并识记概率的性质 数学抽象
会用互斥事件、对立事件的概率求解实际
概率性质的应用 数学抽象、数学逻辑
问题
问题导学
预习教材P239－P242的内容，思考以下问题：
1．概率的性质有哪些？
2．如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)与P(A)，P(B)有什么关系？
3．如果事件A与事件B为对立事件，则P(A)与P(B)有什么关系？
概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质 5：如果 A B，那么 P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为
∅⊆A Ω，所以0≤P(
⊆
A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
⊆
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1.( )
(2)若事件A为随机事件，则0<P(A)<1.( )
(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．( )
(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则
P(A∪B)＝________．
解析：因为A与B互斥．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.
答案：0.3
(2019·广西钦州市期末考试)某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出
现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为________．
解析：由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对
立事件，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为P＝1－0.25－0.03＝0.72.
答案：0.72
互斥事件与对立事件概率公式的应用
一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分
别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
【解】 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”
的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，
P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9
环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)
＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两
个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，
原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通
过求其反面，然后转化为所求问题．
[注意] 有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P(∑A)＝
i
∑P(A)．
i
某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事
件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医
生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝
0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝
0.56.
(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10名队员，某些队员不止参加了
一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
【解】 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，
C.由图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则E为“抽取一名队员，
该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P(E)＝1－＝.
求复杂事件的概率常见的两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立
面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至
少…”或“至多…”型事件的概率．
一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依
次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，
(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，
2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，
(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，
2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，
3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝＝.
即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件B包
括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
1．若A与B为互斥事件，则( )
A．P(A)＋P(B)<1
B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1
D．P(A)＋P(B)≤1
解析：选D.若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1.故选D.
2．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为甲胜的概率就是乙不胜，故甲胜的概率为1－＝.故选C.
3．(2019·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学月考)从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于
200克的概率为 0.2，重量在[200，300]内的概率为 0.5，那么重量超过 300克的概率为
________．
解析：设重量超过300克的概率为P，因为重量小于200克的概率为0.2, 重量在[200，
300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.
答案：0.3
4．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随
机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解：记事件A＝{任取1球为红球}；A＝{任取1球为黑球}；
1 2
A ＝{任取1球为白球}；A ＝{任取1球为绿球}，则P(A)＝，P(A)＝，P(A)＝，P(A)
3 4 1 2 3 4
＝.
根据题意知，事件A，A，A，A 彼此互斥．
1 2 3 4
法一：(1)由互斥事件概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P(A＋A)＝P(A)＋
1 2 1
P(A)＝＋＝.
2
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A ＋A ＋A)＝P(A)＋P(A)＋P(A)＝＋＋
1 2 3 1 2 3
＝.
法二：(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A ＋A 的对
1 2
立事件为A ＋A ，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A ＋A)＝1－P(A ＋A)＝1－P(A)
3 4 1 2 3 4 3
－P(A)＝1－－＝＝.
4
(2)A＋A＋A 的对立事件为A，所以P(A＋A＋A)＝1－P(A)＝1－＝.
1 2 3 4 1 2 3 4
[A 基础达标]
1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此
射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
解析：选A.依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的
概率为1－0.60＝0.40.
2．(2019·陕西省咸阳市检测(一))某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中
23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是
0.4，则抽得C的概率是( )
A．0.14 B．0.20
C．0.40 D．0.60
解析：选A.由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14.故选A.
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球
的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.记3个红球分别为a ，a ，a ，2个白球分别为b ，b ，从3个红球、2个
1 2 3 1 2
白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a ，a ，a)，(a ，a ，b)，(a ，a ，b)，(a ，
1 2 3 1 2 1 1 2 2 1
a ，b)，(a ，a ，b)，(a ，a ，b)，(a ，a ，b)，(a ，b ，b)，(a ，b ，b)，(a ，b ，
3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 2 3 1
b)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
2
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A包含的基本事件有1个：(a ，a ，a)，所以P(A)＝.故P(A)＝1－P(A)＝1
1 2 3
－＝.
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上
的点数不超过3”，则P(A∪B)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B.法一：A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的
情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况．故P(A∪B)＝＝.
法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝＋－＝1－＝.
5．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能
被5整除的数”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，
这两个事件不互斥，既是偶然又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除
的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为＝.
法二：设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝，
P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．
⊆
解析：(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.
⊆
P(AB)＝P(∅)＝0
答案：(1)0.4 0.2 (2)0.6 0
7．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．
解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.又因为
P(A)＝2P(B)，
所以P(A)＋P(A)＝，
所以P(A)＝.
答案：
8．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
月收入 [1 000，1 500) [1 500，2 000) [2 000，2 500) [2 500，3 000)
概率 0.12 a b 0.14已知月收入在[1 000，3 000)内的概率为0.67，则月收入在[1 500，3 000)内的概率为
________．
解析：记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2
500，3 000)范围内的事件分别为A，B，C，D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋
P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，
所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55.
答案：0.55
9．已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，大于等于60分且小于等于90
分的概率为0.5，求：
(1)李明成绩大于等于60分的概率；
(2)李明成绩低于60分的概率．
解：记A：李明成绩高于90分，B：李明成绩大于等于60分且小于等于90分，则不
难看出A与B互斥，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.5.
(1)因为“李明成绩大于等于60分”可表示为A∪B，由A与B互斥可知P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝0.3＋0.5＝0.8.
(2)因为“李明成绩低于60分”可表示为A∪B，因此P(A∪B)＝1－P(A∪B)＝1－0.8＝
0.2.
10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮
料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员
工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3
杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B
饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，
(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件，E表示
此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件．则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
[B 能力提升]
11．已知A，B，C两两互斥，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝
________．
解析：因为P(B)＝0.6，所以P(B)＝1－P(B)＝0.4.
所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
答案：0.912．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中
取出2粒都是白子的概率为.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
解析：设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”
为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率为.
答案：
13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3
件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进
货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．
解析：商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0
件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率
加法公式可解．
记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天
商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
14．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收
物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现
随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾” “可回收物”
“其他垃圾”箱
箱 箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，则m＝400，n
＝400＋100＋100＝600.
所以厨余垃圾投放正确的概率约为＝＝.
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件A表示“生活垃圾投放正确”，从而
P(A)＝＝0.7，
所以P(A)＝1－P(A)＝1－0.7＝0.3.
[C 拓展探索]
15．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经
验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为
500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量
为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下
面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货
量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据
知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估
计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.
所以，Y的所有可能值为900，300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝
0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
