文档内容
6．2.3 向量的数乘运算
考点 学习目标 核心素养
向量数乘运算的定义及运算 理解向量数乘的定义及几何意
数学抽象、直观想象
律 义，掌握向量数乘的运算律
掌握向量共线定理，会判断或证
向量共线定理 逻辑推理
明两个向量共线
问题导学
预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
1．向量的数乘的定义
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λ a ，
它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ | λ | | a |．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ
＝0时，λa＝0．
■名师点拨
λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加
减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝ ( λμ ) a ．
(2)(λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ．
(3)λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b ．
3．向量的线性运算及向量共线定理
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实
数λ，μ，μ，恒有λ(μa±μb)＝λμ a ± λμ b．
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(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b ＝ λ a ．
■名师点拨
若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )
(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．( )
(3)若ma＝mb，则a＝b.( )
(4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
答案：D
若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( )
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
答案：A
在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则此四边形的形状是________．
答案：梯形
向量的线性运算
(1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
③.
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
【解】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a
＝－7a＋7b.
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c
＝－a－c.
③原式＝
＝
＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j
＝－i－5j.
向量线性运算的基本方法
(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括
号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这
里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的
方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．
解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0.
答案：0
2．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.
解：因为2x－a－b－c＋x＋b＝0，
所以x－a＋b－c＝0，
所以x＝a－b＋c，
所以x＝a－b＋c.
向量共线定理及其应用
已知非零向量e，e 不共线．
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(1)如果AB＝e＋e，BC＝2e＋8e，CD＝3(e－e)，求证：A、B、D三点共线；
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(2)欲使ke＋e 和e＋ke 共线，试确定实数k的值．
1 2 1 2
【解】 (1)证明：因为AB＝e ＋e ，BD＝BC＋CD＝2e ＋8e ＋3e －3e ＝5(e ＋e)＝
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5AB.
所以AB，BD共线，且有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
(2)因为ke＋e 与e＋ke 共线，
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所以存在实数λ，使ke＋e＝λ(e＋ke)，
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则(k－λ)e＝(λk－1)e，
1 2
由于e 与e 不共线，只能有
1 2
所以k＝±1.
向量共线定理的应用(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB＝
λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共
线的重要方法．
已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝
________．
解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得
答案：－
用已知向量表示其他向量
如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD且|AB|＝2|CD|，M，N分
别是DC，AB的中点，已知AB＝e，AD＝e，试用e，e 表示下列向量．
1 2 1 2
(1)AC＝________；
(2)MN＝________．
【解析】 因为AB∥CD，|AB|＝2|CD|，
所以AB＝2DC，DC＝AB.
(1)AC＝AD＋DC＝e＋e.
2 1
(2)MN＝MD＋DA＋AN
＝－DC－AD＋AB
＝－e－e＋e＝e－e.
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【答案】 (1)e＋e (2)e－e
2 1 1 2
[变条件]在本例中，若条件改为BC＝e，AD＝e，试用e，e 表示向量MN.
1 2 1 2
解：因为MN＝MD＋DA＋AN，
MN＝MC＋CB＋BN，
所以2MN＝(MD＋MC)＋DA＋CB＋(AN＋BN)．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以MD＋MC＝0，AN＋BN＝0.
所以2MN＝DA＋CB，
所以MN＝(－AD－BC)＝－e－e.
2 1
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向
量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF
＝( )
A．AB＋AD B．－AB－AD
C．－AB＋AD D．AB－AD
解析：选D.EF＝EC＋CF＝AB－AD.
1.等于( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：选B.原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b.
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，AB＝2e，BC＝3e，则e－e＝( )
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A.BO B.AO
C.CO D.DO
解析：选A.BD＝AD－AB＝BC－AB＝3e－2e，BO＝BD＝e－e.
2 1 2 1
3．已知e，e 是两个不共线的向量，若AB＝2e－8e，CB＝e＋3e，CD＝2e－e，求
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证A，B，D三点共线．
证明：因为CB＝e＋3e，CD＝2e－e，
1 2 1 2
所以BD＝CD－CB＝e－4e.
1 2
又AB＝2e－8e＝2(e－4e)，所以AB＝2BD，所以AB与BD共线．
1 2 1 2
因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．
[A 基础达标]
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|
≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，
不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选
C.
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数
m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，
所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则(
)
A.AO＝2OD B.AO＝OD
C.AO＝3OD D．2AO＝OD
解析：选B.因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，
所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.
4．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(
)
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
解析：选B.若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，
所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以
所以km＝1，即km－1＝0.
5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若AB＋AC＝2AP，则PB等于(
)
A．－AB＋AC B.AB－AC
C.AB－AC D．－AB＋AC
解析：选C.由AB＋AC＝2AP得AP＝(AB＋AC)，所以PB＝PA＋AB＝－(AB＋AC)＋AB
＝AB－AC.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．已知点P在线段AB上，且|AB|＝4|AP|，设AP＝λ PB，则实数λ＝________．
解析：因为|AB|＝4|AP|，则AP的长度是PB的长度的，二者的方向相同，所以AP＝PB.
答案：8．设 a，b 是两个不共线的向量．若向量 ka＋2b 与 8a＋kb 的方向相反，则 k＝
________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0 k＜0)．
答案：－4
⇒ ⇒ ⇒
9．计算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解：(1)原式＝a＋b＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
10．已知两个非零向量a与b不共线，OA＝2a－b，OB＝a＋3b，OC＝ka＋5b.
(1)若2OA－OB＋OC＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
解：(1)因为2OA－OB＋OC＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)AB＝OB－OA＝－a＋4b，AC＝OC－OA＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则
存在λ∈R，使AC＝λAB，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝.
[B 能力提升]
11．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝AB，b＝AC，则CG＝( )
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
解析：选A.因为G为△ABC的重心，所以AG＝(AB＋AC)＝a＋b，所以CG＝CA＋AG
＝－b＋a＋b＝a－b.
12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向
量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有( )
①OA＋2OB； ②OA ＋
OB；
③OA＋OB； ④OA＋OB.
A．①② B．①②④
C．①②③ D．③④
解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有OE
＝λOF＝λ[xOA＋(1－x)OB]＝λxOA＋(1－x)λOB，其中01，注意到λx＋(1－x)λ＝
λ>1；注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝<1，＋＝<1，故选A.
13.如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，且 BD＝
2DC，若AC＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝________．
解析：直接利用向量共线定理，得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么
m－n＝－－＝－2.
答案：－2
14．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，
CD＝－5e－3f.
(1)用e，f表示AD；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f
＝－8e－2f.
(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的模为
BC的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
[C 拓展探究]
15．设OA，OB不共线，且OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
解：(1)证明：当a＝，b＝时，
OC＝OA＋OB，
所以(OC－OB)＝(OA－OC)，
即2 BC＝CA，
所以BC与CA共线，又BC与CA有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以AC∥AB，
不妨设AC＝λAB(λ∈R)，所以OC－OA＝λ(OB－OA)，
即OC＝(1－λ)OA＋λOB，
又OC＝aOA＋bOB，且OA，OB不共线，
则所以a＋b＝1(定值)．
