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[A 基础达标]
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|
≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，
不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选
C.
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数
m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，
所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则(
)
A.AO＝2OD B.AO＝OD
C.AO＝3OD D．2AO＝OD
解析：选B.因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，
所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.
4．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(
)
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
解析：选B.若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，
所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以
所以km＝1，即km－1＝0.
5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若AB＋AC＝2AP，则PB等于(
)
A．－AB＋AC B.AB－AC
C.AB－AC D．－AB＋AC
解析：选C.由AB＋AC＝2AP得AP＝(AB＋AC)，所以PB＝PA＋AB＝－(AB＋AC)＋AB
＝AB－AC.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．已知点P在线段AB上，且|AB|＝4|AP|，设AP＝λ PB，则实数λ＝________．
解析：因为|AB|＝4|AP|，则AP的长度是PB的长度的，二者的方向相同，所以AP＝PB.
答案：
8．设 a，b 是两个不共线的向量．若向量 ka＋2b 与 8a＋kb 的方向相反，则 k＝
________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0 k＜0)．
答案：－4
⇒ ⇒ ⇒
9．计算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解：(1)原式＝a＋b＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
10．已知两个非零向量a与b不共线，OA＝2a－b，OB＝a＋3b，OC＝ka＋5b.
(1)若2OA－OB＋OC＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
解：(1)因为2OA－OB＋OC＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)AB＝OB－OA＝－a＋4b，AC＝OC－OA＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则
存在λ∈R，使AC＝λAB，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝.
[B 能力提升]
11．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝AB，b＝AC，则CG＝( )
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
解析：选A.因为G为△ABC的重心，所以AG＝(AB＋AC)＝a＋b，所以CG＝CA＋AG
＝－b＋a＋b＝a－b.
12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向
量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有( )
①OA＋2OB； ②OA ＋
OB；
③OA＋OB； ④OA＋OB.
A．①② B．①②④
C．①②③ D．③④解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有OE
＝λOF＝λ[xOA＋(1－x)OB]＝λxOA＋(1－x)λOB，其中01，注意到λx＋(1－x)λ＝
λ>1；注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝<1，＋＝<1，故选A.
13.如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，且 BD＝
2DC，若AC＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝________．
解析：直接利用向量共线定理，得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC
＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么
m－n＝－－＝－2.
答案：－2
14．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，
CD＝－5e－3f.
(1)用e，f表示AD；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f
＝－8e－2f.
(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的模为
BC的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
[C 拓展探究]
15．设OA，OB不共线，且OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
解：(1)证明：当a＝，b＝时，
OC＝OA＋OB，
所以(OC－OB)＝(OA－OC)，
即2 BC＝CA，
所以BC与CA共线，又BC与CA有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以AC∥AB，
不妨设AC＝λAB(λ∈R)，所以OC－OA＝λ(OB－OA)，
即OC＝(1－λ)OA＋λOB，
又OC＝aOA＋bOB，且OA，OB不共线，
则所以a＋b＝1(定值)．
