文档内容
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平 面
考点 学习目标 核心素养
了解平面的概念，会用图形与字
平面的概念 直观想象
母表示平面
能用符号语言描述空间中的点、
点、线、面的位置关系 直观想象
直线、平面之间的位置关系
能用图形、文字、符号三种语言
三个基本事实及推论 描述三个基本事实， 直观想象、逻辑推理
理解三个基本事实的地位与作用
问题导学
预习教材P124－P127的内容，思考以下问题：
1．教材中是如何定义平面的？
2．平面的表示方法有哪些？
3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
1．平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．
平面是向四周无限延展的．
(2)平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的
一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
(3)平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代
表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对
的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面 α，也可以表示为平面
ABCD、平面AC 或者平面BD．
■名师点拨
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈∉α
A在α外 A α
∉
l在α内 l α
⊂
l在α外 l α
⊄
l，m相交于A l ∩ m ＝ A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α ∩ β ＝ l
■名师点拨
从集合的角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用
“∈”或“∉ ”表示．
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉
”表示．
(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或
“⊄”表示．
3．平面的性质
基本
文字语言 图形语言 符号语言
事实
过不在一条直线上的 A，B，C三点不共线
基本
三个点，有且只有一 ⇒存在唯一的平面α使
事实1
个平面 A，B，C∈α
如果一条直线上的两
A∈l，B∈l，且
基本 个点在一个平面内，
A∈α，B∈α
事实2 那么这条直线在这个
l α
平面内 ⇒
⊂如果两个不重合的平
基本 面有一个公共点，那 P∈α，且P∈β α ∩ β
事实3 么它们有且只有一条 ＝ l ，且 P ∈ l
⇒
过该点的公共直线
■名师点拨
在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住
的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：
4．平面性质的三个推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．( )
(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．( )
(3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.( )
(4)平面ABCD的面积为100 m2.( )
(5)过三点A，B，C有且只有一个平面．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
若一直线a在平面α内，则正确的图形是( )
解析：选A.选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．
如图所示，下列符号表示错误的是( )
A．l∈α B．P∉l
C．l α D．P∈α
⊂解析：选A.观察图知：P∉l，P∈α，l α，则l∈α是错误的．
下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和
⊂
叙述方法都正确的是( )
A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈α
B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a
C．因为A∈a，a α，所以A∈α
D．因为A a，a α，所以A α
⊂
解析：选C.对于A，直线AB在平面α内，应为AB α，故A错误；
∉ ⊂ ∉
对于B，直线a在平面α，β内，应为a α，a β，故B错误；
⊂
对于C，因为A∈a，a α，所以A∈α，故C正确；
⊂ ⊂
对于D，A a，a α，有可能A∈α，故D错误．故选C.
⊂
已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
∉ ⊂
(1)点C与平面β：____________．
(2)点A与平面α：____________．
(3)直线AB与平面α：__________．
(4)直线CD与平面α：__________．
(5)平面α与平面β：____________．
答案：(1)C∉β (2)A∉α (3)AB∩α＝B (4)CD α (5)α∩β＝BD
⊂
图形、文字、符号语言的相互转化
(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β.
【解】 (1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.
⊂ ⊂
用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，
β内，图形语言表示如图②所示．
三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线
且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A 与平面AC；
1
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面AB与平面AC.
1
解：(1)点P∈直线AB.
(2)点C∉直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A∉平面AC.
1
(5)直线AB∩直线BC＝点B.
(6)直线AB 平面AC.
(7)平面AB∩平面AC＝直线AB.
1 ⊂
2．根据下列条件画出图形：
平面α∩平面β＝直线AB，直线a α，直线b β，a∥AB，b∥AB.
解：图形如图所示．
⊂ ⊂
点、线共面问题
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】 已知：如图所示，l∩l＝A，l∩l＝B，l∩l＝C.
1 2 2 3 1 3
求证：直线l，l，l 在同一平面内．
1 2 3
证明：法一：(纳入平面法)
因为l∩l＝A，所以l 和l 确定一个平面α.
1 2 1 2
因为l∩l＝B，所以B∈l.
2 3 2
又因为l α，
2
所以B∈α.同理可证C∈α.
⊂
又因为B∈l，C∈l，所以l α.
3 3 3
所以直线l，l，l 在同一平面内．
1 2 3 ⊂法二：(辅助平面法)
因为l∩l＝A，所以l，l 确定一个平面α.
1 2 1 2
因为l∩l＝B，
2 3
所以l，l 确定一个平面β.
2 3
因为A∈l，l α，所以A∈α.
2 2
因为A∈l，l β，所以A∈β.
2 2⊂
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
⊂
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l，l，l 在同一平面内．
1 2 3
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后
证明平面α，β重合．
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一
个平面．
证明：如图所示．由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
所以l α.即过a，b，l有且只有一个平面．
⊂
三点共线、三线共点问题
如图所示，在正方体 ABCDABC D 中，E、F 分别为 AB、
1 1 1 1
AA 的中点．求证：CE，DF，DA三线交于一点．
1 1
【证明】 连接EF，DC，AB，
1 1
因为E为AB的中点，
F为AA 的中点，所以EF\s\do3(═)AB.
1 1
又因为AB\s\do3(═)DC，
1 1
所以EF\s\do3(═)DC，
1
所以E，F，D，C四点共面，
1
可设DF∩CE＝P.
1
又DF 平面ADDA，CE 平面ABCD，
1 1 1
所以点P为平面ADDA与平面ABCD的公共点．
⊂ 1 1 ⊂
又因为平面ADDA∩平面ABCD＝DA，
1 1
所以据基本事实3可得P∈DA，即CE，DF，DA三线交于一点．
1
[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA 的中点”改成“E，F分别
1
为AB，AA 上的点，且DF∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．
1 1
证明：因为DF∩CE＝M，
1
且DF 平面ADDA，所以M∈平面ADDA，
1 1 1 1 1
同理M∈平面BCDA，
⊂
从而M在两个平面的交线上，
因为平面ADDA∩平面BCDA＝AD，
1 1
所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．
1．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.
求证：AB，CD，l共点．
⊂ ⊂
证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M.又因为AB α，CD β，
所以M∈α，且M∈β，
⊂ ⊂
又因为α∩β＝l，
所以M∈l.即AB，CD，l共点．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α
相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝
E，AB β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条
⊂
通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．
1．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不
在同一条直线上的三个点，故不正确．
2．经过同一条直线上的3个点的平面( )
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．
3．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l α
⊂ ⊂
B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
⊂
解析：选A.因为M∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l α.
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
⊂ ⊂
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面
有且只有一条经过该点的公共直线．
5．说明语句“l α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．
解：直线l在平面α 内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图
⊂
所示．[A 基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
解析：选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故
B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，
一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C.
2．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点
确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①
正确；②如图，两个相交平面有三个公共点 A，B，C，但A，B，C，
D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平
面上，如空间四边形．
3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
⇒ ⊂
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
⇒
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
⇒
解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点
A，故C错．
4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果
GH，EF交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
解析：选B.由题意知GH 平面ADC，GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，
P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由基本事实3可知点P一定在直线AC上．
⊂
5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图
形是( )
解析：选 D.在选项 A，B，C 中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有
PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.
6．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
⊂ ⊂
答案：∈
⊂ ⊂
7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，
当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
8．看图填空：
(1)平面AB∩平面AC ＝________；
1 1 1
(2)平面AC CA∩平面AC＝________．
1 1
答案：AB AC
1 1
9．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平
面的交线．
解：以AB为其中一边，分别画出来表示平面的平行四边形．如图．10．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是
BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
证明：(1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF\s\do3(═)BD，因
为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
所以GH\s\do3(═)BD，
所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF\s\do3(═)BD，
因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
所以GH\s\do3(═)BD，
所以EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形，
设两腰EG，FH相交于一点T.
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，
⊂ ⊂
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
[B 能力提升]
11．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排
除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除
D.故选B.
12．如图，平面 α∩平面 β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线
AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
解析：选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的
交线上．故选D.
13．在正方体ABCDABC D 中，M，N分别是棱DD 和BB 上的点，MD＝DD ，NB
1 1 1 1 1 1 1
＝BB，那么正方体过点M，N，C 的截面图形是( )
1 1
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选 C.在正方体 ABCDABC D 中，M，N 分别是棱
1 1 1 1
DD 和BB 上的点，MD＝DD ，NB＝BB.如图，延长C M交CD
1 1 1 1 1
的延长线于点P，延长C N交CB的延长线于点Q，连接PQ交
1
AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，
C 的截面图形是五边形，故选C.
1
14.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α
的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
证明：因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，
所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可确定一个平面，设为β.
因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC β，BD β，平面α，β相交．
因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
⊂ ⊂
所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
[C 拓展探究]
15．如图，在正方体ABCDABC D 中，设线段AC与平面ABCD 交于点Q，求证：
1 1 1 1 1 1 1
B，Q，D 三点共线．
1
证明：如图，连接AB，CD，显然B∈平面ABCD ，D∈平面ABCD .
1 1 1 1 1 1 1
所以BD 平面ABCD .
1 1 1
同理BD 平面ABCD
1⊂ 1 1
⊂所以平面 ABCD∩平面 ABCD ＝BD.因为 AC∩平面 ABCD ＝Q，所以 Q∈平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ABCD.
1 1
又因为AC 平面ABCD ，所以Q∈平面ABCD .
1 1 1 1 1
所以Q在平面ABCD 与ABCD 的交线上，
⊂ 1 1 1 1
即Q∈BD，所以B，Q，D 三点共线．
1 1
