文档内容
8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
考点 学习目标 核心素养
理解基本事实4，并会用它解决两直线平 直观想象、
基本事实4
行问题 逻辑推理
理解定理的内容，套用定理解决角相等或 直观想象、
定理
互补问题 逻辑推理
问题导学
预习教材P133－P135的内容，思考以下问题：
1．基本事实4的内容是什么？
2．定理的内容是什么？
1．基本事实4
(1)平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．(2)符号表示：
⇒a∥c.
2．定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
■名师点拨
定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且
方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，
有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．( )
(2)如果两个角相等，则它们的边互相平行．( )
答案：(1)× (2)×
已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
答案：B
在长方体ABCDA′B′C′D′中，与AD平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)答案：A′D′，B′C′，BC基本事实4的应用
如图，E，F分别是长方体ABCDABCD 的棱AA，CC的中点．求证：四边形
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BEDF为平行四边形．
1
【证明】 如图所示，取DD 的中点Q，连接EQ，QC.
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因为E是AA 的中点，所以EQ\s\do3(═)AD.
1 1 1
因为在矩形ABCD 中，AD\s\do3(═)BC，
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所以EQ\s\do3(═)BC，
1 1
所以四边形EQCB 为平行四边形，所以BE\s\do3(═)CQ.
1 1 1 1
又Q，F分别是DD，CC的中点，
1 1
所以QD\s\do3(═)CF，
1
所以四边形DQCF为平行四边形，
1
所以CQ\s\do3(═)FD.
1
又BE\s\do3(═)CQ，所以BE\s\do3(═)FD，
1 1 1
故四边形BEDF为平行四边形．
1
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例
定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
如图，已知E，F分别是正方体ABCDABCD 的棱AA ，CC 的中点，求
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证：四边形EBFD 是菱形．
1证明：如图所示，在正方体ABCDABCD 中，取棱BB 的中点G，
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连接CG，EG.
1
因为E，G分别为棱AA，BB 的中点，
1 1
所以EG\s\do3(═)AB.
1 1
又AB\s\do3(═)CD，所以EG\s\do3(═)CD，
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从而四边形EGCD 为平行四边形，
1 1
所以DE\s\do3(═)CG.
1 1
因为F，G分别为棱CC，BB 的中点，所以CF\s\do3(═)BG，从而四边形BGCF 为平行
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四边形，所以BF\s\do3(═)CG，
1
又DE\s\do3(═)CG，所以DE\s\do3(═)BF，
1 1 1
从而四边形EBFD 为平行四边形．
1
不妨设正方体ABCDABCD 的棱长为a，易知BE＝BF＝a，
1 1 1 1
故平行四边形EBFD 是菱形．
1
定理的应用
如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A ，B ，C
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分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝.
求证：△ABC∽△ABC.
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【证明】 在△OAB中，因为＝，所以AB∥AB.
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同理可证AC∥AC，BC∥BC.
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所以∠CAB＝∠CAB，∠ABC＝∠ABC.
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所以△ABC∽△ABC.
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运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二
是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．
如图，三棱柱ABCABC 中，M，N，P分别为AA ，BB ，CC 的中点．求
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证：∠MCN＝∠APB.
1
证明：因为N，P分别是BB ，CC 的中点，所以BN\s\do3(═)CP，所以四边形BPCN为
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平行四边形，所以CN∥BP.同理可证CM∥AP，
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又∠MCN与∠APB方向相同，所以∠MCN＝∠APB.
1 11.如图，长方体ABCDABCD 中，M是AD的中点，N是BC 的中
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点，求证：CM∥AN.
1
证明：取AD 的中点P，连接CP，MP，则AP＝AD.又N为BC
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的中点，BC\s\do3(═)AD，
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所以CN\s\do3(═)PA，四边形PANC 为平行四边形，AN∥CP.
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又由PM\s\do3(═)DD\s\do3(═)CC，得CP∥CM.所以CM∥AN.
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2．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三
点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝
∠C′D′E′.
证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，
同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，
所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
[A 基础达标]
1．下列结论中正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，
c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：选B.①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的
传递性可知．
2．下列命题中，正确的有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相
等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个解析：选B.由等角定理可知：对于①这两个角可能相等，也可能互补；
对于②显然正确．对于③如图，∠DDC 与∠DAD 的两边 DC⊥AD ，
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AD⊥DD，而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错误；由基本事实
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4知命题④正确．所以②④是正确的．
3．若∠AOB＝∠AOB 且OA∥OA ，OA与OA 的方向相同，则下
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列结论中正确的是( )
A．OB∥OB 且方向相同
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B．OB∥OB
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C．OB与OB 不平行
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D．OB与OB 不一定平行
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解析：选D.OB与OB 不一定平行，反例如图．
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4.如图，α∩β＝l，a α，b β，且a，b为异面直线，则以下结
论中正确的是( )
⊂ ⊂
A．a，b都与l平行
B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交
D．a，b中至多有一条与l相交
解析：选B.如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，
故a，b中至多有一条与l平行．
5．如图所示，在长方体木块AC 中，E，F分别是BO和CO的中点，则长方体的各棱中
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与EF平行的有( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
解析：选B.由于E，F分别是BO，CO的中点，故EF∥BC ，因为和棱BC 平行的棱还
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有3条：AD，BC，AD，所以共有4条．
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6．空间中有两个角α，β，且角α、β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．
解析：因为α与β两边对应平行，但方向不确定，
所以α与β相等或互补．
答案：60°或120°
7.如图，在正方体 ABCDABCD 中，BD 和 BD 分别是正方形
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(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：(1)因为BD∥BD，BC∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠DBC 的两边分
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别平行且方向相同．
(2)BD∥BD，DA∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠BDA 的两边分别平行且方
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向相反．
答案：(1)∠DBC (2)∠BDA
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8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS
是平行直线的图是________(填序号)．
解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是异面直线．
答案：①②
9.如图，在正方体ABCDABCD 中，M，M 分别是棱AD和AD 的中点．
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求证：(1)四边形BBMM为平行四边形；
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(2)∠BMC＝∠BMC.
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证明：(1)因为在正方形ADDA 中，M，M 分别为AD，AD 的中点，
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所以MM\s\do3(═)AA.
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又因为AA\s\do3(═)BB，
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所以MM∥BB，
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且MM＝BB.
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所以四边形BBMM为平行四边形．
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(2)由(1)知四边形BBMM为平行四边形，
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所以BM∥BM.
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同理可得四边形CCMM为平行四边形，
1 1
所以CM∥CM.
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由平面几何知识可知，∠BMC和∠BMC 都是锐角，
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所以∠BMC＝∠BMC.
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10．如图，已知在棱长为a的正方体ABCDABCD 中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
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求证：(1)四边形MNAC 是梯形；
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(2)∠DNM＝∠DAC.
1 1 1证明：(1)如图，连接AC，因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD
的中点，所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质得：
AC∥AC，AC＝AC.
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所以MN∥AC，且MN＝AC，即MN≠AC，
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所以四边形MNAC 是梯形．
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(2)由(1)可知MN∥AC.
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又因为ND∥AD，所以∠DNM与∠DAC 相等或互补．
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而∠DNM与∠DAC 均为锐角，
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所以∠DNM＝∠DAC.
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[B 能力提升]
11．如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中
点，则下列说法不正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为矩形
解析：选D.由条件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.对于A，
由MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据定理，得∠QME＝∠CBD，
故B正确；对于C，由定理知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正
确；对于D，没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故D不正确．
12．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，
CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
解析：因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，
所以EH∥BD，且EH＝BD，
同理FG∥BD，且FG＝BD.
所以EH＝FG＝BD＝1，同理EF＝GH＝AC＝2，
所以四边形EFGH的周长为6.答案：6
13.(2019·丽水检测)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有
如下结论：
①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是
异面直线．AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
答案：①②
14.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，
G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积
为28 cm2，求平行线EH，FG间的距离．
解：在△BCD中，因为＝＝，
所以GF∥BD，＝.
所以FG＝4 cm.
在△ABD中，因为点E，H分别是AB、AD的中点，
所以EH＝BD＝3(cm)．
设EH，FG间的距离为d cm.
则×(4＋3)×d＝28，所以d＝8.
即EH和FG间的距离为8 cm.
[C 拓展探究]
15．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，
CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
因为＝＝，所以EH＝BD.
同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
