文档内容
7．1.2 复数的几何意义
考点 学习目标 核心素养
复平面 了解复平面的概念 数学抽象
理解复数、复平面内的点、复平面内的
复数的几何意义 直观想象
向量之间的对应关系
复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数
共轭复数 数学运算
的共轭复数
问题导学
预习教材P70－P72的内容，思考以下问题：
1．复平面是如何定义的？
2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？
3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上
的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←――→复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) ←――→平面向量OZ.
■名师点拨
(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的
单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示
纯虚数．
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写
时应大写．
3．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|
或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．
■名师点拨
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．
4．共轭复数
(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(3)复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝ a － b i ．
■名师点拨
复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数z＝a－bi在复平面内对应的点为(a，
－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)原点是实轴和虚轴的交点．( )
(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( )
(3)若|z|＝|z|，则z＝z.( )
1 2 1 2
(4)若z 与z 互为共轭复数，则|z|＝|z|.( )
1 2 1 2
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
复数1－2i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
复数z＝1＋3i的模等于( )
A．2 B．4
C. D．2
答案：C
复数z＝－2＋5i的共轭复数z＝________．
答案：－2－5i
复数与复平面内的点
已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满
足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限．
【解】 (1)若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝.
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－11
C．a>1 D．a>0
(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平
面内对应点的集合是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
【解析】 (1)由题意得<，即<(a∈R)，所以－1z B．z|z| D．|z|<|z|
1 2 1 2解析：选D.|z|＝|5＋3i|＝＝，
1
|z|＝|5＋4i|＝＝.
2
因为<，所以|z|<|z|.
1 2
2．已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|<4，求实数a的取值范围．
解：法一：因为z＝3＋ai(a∈R)，所以|z|＝，
由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－，)．
法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边
界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，
由图可知－7或－20，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.
12．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是( )
A．5 B．2
C．7 D．3
解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.
13．i为虚数单位，设复数z ，z 在复平面内对应的点关于原点对称，若z ＝2－3i，则
1 2 1
z＝________．
2
解析：因为z ＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z ，z 在复平面
1 1 2
内对应的点关于原点对称，所以z 在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z
2 2
＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
14．已知复数z＝cos θ＋isin 2θ，z＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，
1 2
(1)z，z 在复平面内对应的点关于实轴对称；
1 2
(2)|z|<.
2
解：(1)在复平面内，z 与z 对应的点关于实轴对称，则⇒
1 2
(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)由|z|<，得<，
2
即3sin2 θ＋cos2 θ<2，
所以sin2θ<，
所以kπ－<θ
