文档文本内容
7．1.2 复数的几何意义
考点 学习目标 核心素养
复平面 了解复平面的概念 数学抽象
理解复数、复平面内的点、复平面内的
复数的几何意义 直观想象
向量之间的对应关系
复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数
共轭复数 数学运算
的共轭复数
问题导学
预习教材P70－P72的内容，思考以下问题：
1．复平面是如何定义的？
2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？
3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上
的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←――→复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) ←――→平面向量OZ.
■名师点拨
(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的
单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示
纯虚数．
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写
时应大写．
3．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|
或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．
■名师点拨
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．
4．共轭复数
(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(3)复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝ a － b i ．
■名师点拨
复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数z＝a－bi在复平面内对应的点为(a，
－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)原点是实轴和虚轴的交点．( )
(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( )
(3)若|z|＝|z|，则z＝z.( )
1 2 1 2
(4)若z 与z 互为共轭复数，则|z|＝|z|.( )
1 2 1 2
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
复数1－2i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
复数z＝1＋3i的模等于( )
A．2 B．4
C. D．2
答案：C
复数z＝－2＋5i的共轭复数z＝________．
答案：－2－5i
复数与复平面内的点
已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满
足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限．
【解】 (1)若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝.
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－1<a<.
故a的取值范围是.[变条件]本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．
解：若z对应的点(a2－1，2a－1)在抛物线y2＝4x上，则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2
－4a＋1＝4a2－4，解得a＝.
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点
Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不
等式(组)求解．
在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在
虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，
所以z＝6i或z＝0.
(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则所以m＝1，所以z＝－2.
复数与复平面内的向量
在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD
的顶点D所对应的复数．
【解】 法一：由复数的几何意义得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则AC的中点为，
由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D(x，y)，则所以即点D的坐标为(3，3)，
所以点D对应的复数为3＋3i.
法二：由已知得OA＝(0，1)，OB＝(1，0)，OC＝(4，2)，
所以BA＝(－1，1)，BC＝(3，2)，
所以BD＝BA＋BC＝(2，3)，所以OD＝OB＋BD＝(3，3)，
即点D对应的复数为3＋3i.
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对
应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向
线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工
具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．1．已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋
2i，那么向量BA对应的复数是( )
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
解析：选B.向量OA，OB对应的复数分别记作z ＝2－3i，z ＝－3＋2i，根据复数与复
1 2
平面内的点一一对应，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝(－3，2)．
由向量减法的坐标运算可得向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5－5i.
2．在复平面内，O为原点，向量OA表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的
对称点为B，则向量OB表示的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选B.由题意得A(－1，2)，则B(－2，1)，所以向量OB表示的复数为－2＋i.
复数的模
(1)设复数z＝a＋2i，z＝－2＋i且|z|<|z|，则实数a的取值范围是( )
1 2 1 2
A．－1<a<1 B．a<－1或a>1
C．a>1 D．a>0
(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平
面内对应点的集合是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
【解析】 (1)由题意得<，即<(a∈R)，所以－1<a<1.
(2)由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
【答案】 (1)A (2)A
求解复数的模的思路
解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定
义求解．
1．已知z＝5＋3i，z＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
1 2
A．z>z B．z<z
1 2 1 2
C．|z|>|z| D．|z|<|z|
1 2 1 2解析：选D.|z|＝|5＋3i|＝＝，
1
|z|＝|5＋4i|＝＝.
2
因为<，所以|z|<|z|.
1 2
2．已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|<4，求实数a的取值范围．
解：法一：因为z＝3＋ai(a∈R)，所以|z|＝，
由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－，)．
法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边
界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，
由图可知－<a<.
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值
范围是( )
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A.由题意得解得－3<m<1.
2．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点
为B，则向量OB对应的复数为( )
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选D.由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量
OB对应的复数为－1＋2i.
3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．
解析：依题意，可知z＝a＋i(a∈R)，则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈(1，
5)，即|z|∈(1，)．
答案：(1，)
4．若复数z＝2＋bi与复数z＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
1 2
解析：因为z 与z 互为共轭复数，
1 2
所以a＝2，b＝4.
答案：2 4[A 基础达标]
1．已知复数z＝a＋a2i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．
2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是( )
A. B.
C．5 D．25
解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点
间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.
3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复
数z＝( )
A．3－i B.－3i
C．2－i D.－2i
解析：选D.由题意可设复数z＝＋yi(y∈R，y<0)，则＝3，所以y＝－2，复数z＝－2i.
故选D.
4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中
x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．5 B.
C．2 D．2
解析：选A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，
所以解得所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5，故选A.
5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z＝＋i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转
90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是( )
A．－＋i B.－i
C．－＋i D.－i
解析：选C.|OZ|＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点
Z′，所以Z′(cos 150°，sin 150°)＝，则Z′对应的复数是－＋i.
6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．
解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤.
答案：
7．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________．
解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z
＝－1－2i.
答案：1＋2i或－1－2i
8．若复数z ＝3－5i，z ＝1－i，z ＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，
1 2 3则实数a＝________．
解析：设复数z ，z ，z 分别对应点P(3，－5)，P(1，－1)，P(－2，a)，由已知可得
1 2 3 1 2 3
＝，从而可得a＝5.
答案：5
9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y＝x上．
解：(1)由题意得解得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．
(2)由题意得或
所以m>7或－2<m<3，
此时复数z对应的点位于第一、三象限．
(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，
所以m2－6m－11＝0，
所以m＝3±2，
此时复数z对应的点位于直线y＝x上．
10．在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解：(1)设向量OB对应的复数为z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，则点B的坐标为(x ，y)，由题
1 1 1 1 1 1 1
意可知，点A的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x＝2，y＝－1，
1 1
故z＝2－i.
1
(2)设点C对应的复数为z＝x＋yi(x，y∈R)，
2 2 2 2 2
则点C的坐标为(x，y)，由对称性可知，x＝－2，y＝－1，
2 2 2 2
故z＝－2－i.
2
[B 能力提升]
11．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的
坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈，所以cos θ＋sin θ＝sin<0，sin θ－cos θ
＝sin(θ－)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.
12．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是( )
A．5 B．2
C．7 D．3
解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.
13．i为虚数单位，设复数z ，z 在复平面内对应的点关于原点对称，若z ＝2－3i，则
1 2 1
z＝________．
2
解析：因为z ＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z ，z 在复平面
1 1 2
内对应的点关于原点对称，所以z 在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z
2 2
＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
14．已知复数z＝cos θ＋isin 2θ，z＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，
1 2
(1)z，z 在复平面内对应的点关于实轴对称；
1 2
(2)|z|<.
2
解：(1)在复平面内，z 与z 对应的点关于实轴对称，则⇒
1 2
(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)由|z|<，得<，
2
即3sin2 θ＋cos2 θ<2，
所以sin2θ<，
所以kπ－<θ<kπ＋(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝；
(2)|z|≤3.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
(1)|z|＝，所以x2＋y2＝2，
所以点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆．
(2)|z|≤3，所以x2＋y2≤9.
所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
