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[A 基础达标]
1．已知复数z＝a＋a2i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．
2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是( )
A. B.
C．5 D．25
解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点
间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.
3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复
数z＝( )
A．3－i B.－3i
C．2－i D.－2i
解析：选D.由题意可设复数z＝＋yi(y∈R，y<0)，则＝3，所以y＝－2，复数z＝－2i.
故选D.
4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中
x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．5 B.
C．2 D．2
解析：选A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，
所以解得所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5，故选A.
5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z＝＋i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转
90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是( )
A．－＋i B.－i
C．－＋i D.－i
解析：选C.|OZ|＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点
Z′，所以Z′(cos 150°，sin 150°)＝，则Z′对应的复数是－＋i.
6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．
解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤.
答案：
7．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________．
解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z
＝－1－2i.
答案：1＋2i或－1－2i8．若复数z ＝3－5i，z ＝1－i，z ＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，
1 2 3
则实数a＝________．
解析：设复数z ，z ，z 分别对应点P(3，－5)，P(1，－1)，P(－2，a)，由已知可得
1 2 3 1 2 3
＝，从而可得a＝5.
答案：5
9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y＝x上．
解：(1)由题意得解得37或－20，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.
12．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是( )
A．5 B．2
C．7 D．3解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆
上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.
13．i为虚数单位，设复数z ，z 在复平面内对应的点关于原点对称，若z ＝2－3i，则
1 2 1
z＝________．
2
解析：因为z ＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z ，z 在复平面
1 1 2
内对应的点关于原点对称，所以z 在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z
2 2
＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
14．已知复数z＝cos θ＋isin 2θ，z＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，
1 2
(1)z，z 在复平面内对应的点关于实轴对称；
1 2
(2)|z|<.
2
解：(1)在复平面内，z 与z 对应的点关于实轴对称，则⇒
1 2
(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)由|z|<，得<，
2
即3sin2 θ＋cos2 θ<2，
所以sin2θ<，
所以kπ－<θ
