文档内容
7．2.2 复数的乘、除运算
考点 学习目标 核心素养
掌握复数乘除运算的运算法则，能够进
复数的乘除运算 数学运算
行复数的乘除运算
复数乘法的运算律 理解复数乘法的运算律 逻辑推理
解方程 会在复数范围内解方程 数学运算
问题导学
预习教材P77－P79的内容，思考以下问题：
1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？
2．复数乘法的运算律有哪些？
3．如何在复数范围内求方程的解？
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数乘法的运算法则
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
1 2
则z·z＝(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc ) i ．
1 2
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z，z，z∈C，有
1 2 3
交换律 zz＝zz
1 2 2 1
结合律 (zz)z＝z ( z z)
1 2 3 1 2 3
乘法对加法的分配律 z(z＋z)＝zz ＋ zz
1 2 3 1 2 1 3
■名师点拨
对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将
实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
2．复数除法的运算法则
设z＝a＋bi，z＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，
1 2
则＝＝＋i(c＋di≠0)．
■名师点拨
对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上
就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数的积与商一定是虚数．( )
(2)两个共轭复数的和与积是实数．( )
(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
答案：D
(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选D.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
复数z＝的虚部为________．
解析：z＝＝＝＝－i.
答案：－
复数的乘法运算
(1)(1－i)(1＋i)＝( )
A．1＋i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
(3)把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i) z＝4＋3i，求z.
【解】 (1)选B.(1－i)(1＋i)
＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2＝－1＋i.
(2)选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数，
所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的条件知，解得a＝
2，b＝1，
所以z＝2＋i.
复数乘法运算法则的应用
复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚
部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2
－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.
1．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________．
解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)
＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)
＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
答案：－5－15i
2．已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有
解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.
复数的除法运算
计算：
(1)；
(2).
【解】 (1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＝＝
＝＝＝＝1－i.
复数除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实
数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
1.＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i解析：选D.＝＝＝＝－＋i，故选D.
2．计算：
(1)＋；(2).
解：(1)＋＝＋＝i－i＝0.
(2)＝
＝＝＝＝－1＋i.
i的运算性质
(1)复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)等于________．
【解析】 (1)z2＝＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.
(2)＝＝＝i2 019＝(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
(1)i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度．
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②＝－i，＝i.
③＝－i.
已知z＝－，求z100＋z50＋1的值．
解：因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，
所以z100＋z50＋1＝＋＋1
＝(1－i)100＋(1－i)50＋1
＝(－2i)50＋(－2i)25＋1＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i.
在复数范围内解方程
在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
【解】 (1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i.(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2，
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±.
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝.
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用
复数相等的定义求解．
1．在复数范围内解方程2x2＋3x＋4＝0.
解：因为b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝.
2．已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
解：因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，
所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，
整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，
所以解得1．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选D.因为(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i是纯虚数，所以b＝2.
2．已知i为虚数单位，则复数的模等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为＝＝＝－＋i，
所以||＝|－＋i|＝＝，故选D.
3．计算：(1)＋；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解：(1)＋
＝＋＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)1 009＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
[A 基础达标]
1．复数＝( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
解析：选C.因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以＝＝＝－i.
2．(2019·安徽六安一中模考)设复数z＝1＋bi(b∈R)且z2＝－3＋4i，则z的共轭复数z的
虚部为( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：选A.z2＝(1＋bi)2＝1－b2＋2bi＝－3＋4i，
所以，所以b＝2，故z＝1＋2i，z＝1－2i.
故选A.
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A.由题意z＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选A.
4．(2019·江西赣州寻乌中学期末)若复数＝2－i(其中a，b是实数，i是虚数单位)，则
复数a＋bi在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.由＝2－i，可得a＋i＝(b－i)(2－i)，即a＋i＝2b－1－(2＋b)i，所以
解得所以复数a＋bi在复平面内所对应的点的坐标为(－7，－3)，位于第三象限，故选
C.
5．设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A.由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
6．复数z满足方程zi＝1－i，则z＝________．
解析：由题意可得z＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为z，则z·z＝________．
解析：依题意，得z＝＝i，所以z＝－i，所以z·z＝i·(－i)＝1.
答案：1
8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b等于________．
解析：因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b
＝.
答案：
9．计算：
(1)(2－i)(3＋i)；
(2).
解：(1)(2－i)(3＋i)
＝(7－i)
＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝
＝－2－2i.
10．已知复数z＝1－i，z＝4＋6i，i为虚数单位．
1 2
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z 为实数，求|z|.
1
解：(1)＝＝＝＝－1＋5i.
(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z＝2＋(b－1)i，
1
因为z＋z 为实数，
1
所以b－1＝0，所以b＝1，所以z＝1＋i，
所以|z|＝.[B 能力提升]
11．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：选B.法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，从而＝＝＝＝－2i.
12．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋
bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
解析：选D.因为z＝＋bi＝＋bi＝＋(＋b)i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
13．在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________．
解析：因为b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，所以
x＝
＝
＝＝－3±i.
答案：－3±i
14．已知z＝1－i，z＝2＋2i.
1 2
(1)求z·z；
1 2
(2)若＝＋，求z.
解：(1)因为z＝1－i，z＝2＋2i，所以z·z＝(1－i)(2＋2i)＝4.
1 2 1 2
(2)由＝＋，得z＝，
所以z＝＝＝＝－i.
[C 拓展探究]
15．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若复数ω＝z＋ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a
的取值范围．
解：(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)ω＝－2＋(4＋a)i，复数ω对应向量为(－2，4＋a)，
其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应
向量的模得，20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以，实数a的取值范围是－
8≤a≤0.
