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[A 基础达标]
1．下列结论中正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线
平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四
条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：选B.①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行
线的传递性可知．
2．下列命题中，正确的有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直
角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.由等角定理可知：对于①这两个角可能相等，也可能
互补；对于②显然正确．对于③如图，∠DD C 与∠DAD 的两边
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DC ⊥AD ，AD⊥DD，而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错
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误；由基本事实4知命题④正确．所以②④是正确的．
3．若∠AOB＝∠AOB 且OA∥OA，OA与OA 的方向相同，则下列结论中正确的是
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( )
A．OB∥OB 且方向相同
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B．OB∥OB
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C．OB与OB 不平行
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D．OB与OB 不一定平行
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解析：选D.OB与OB 不一定平行，反例如图．
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4.如图，α∩β＝l，a α，b β，且a，b为异面直线，则以下
结论中正确的是( )
⊂ ⊂
A．a，b都与l平行B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交
D．a，b中至多有一条与l相交
解析：选B.如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛
盾，故a，b中至多有一条与l平行．
5．如图所示，在长方体木块AC 中，E，F分别是BO和C O的中点，则长方体的各
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棱中与EF平行的有( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
解析：选B.由于E，F分别是BO，C O的中点，故EF∥BC ，因为和棱BC 平行的
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棱还有3条：AD，BC，AD，所以共有4条．
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6．空间中有两个角α，β，且角α、β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．
解析：因为α与β两边对应平行，但方向不确定，
所以α与β相等或互补．
答案：60°或120°
7.如图，在正方体ABCDABC D 中，BD和BD 分别是正方形
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ABCD和ABC D 的对角线，
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(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：(1)因为BD∥BD，BC ∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠DBC 的两
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边分别平行且方向相同．
(2)BD∥BD，DA∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠BDA 的两边分别平行
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且方向相反．
答案：(1)∠DBC (2)∠BDA
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8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ
与RS是平行直线的图是________(填序号)．
解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是异面直线．
答案：①②
9.如图，在正方体ABCDABC D 中，M，M 分别是棱AD和AD 的中点．
1 1 1 1 1 1 1求证：(1)四边形BBMM为平行四边形；
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(2)∠BMC＝∠BMC .
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证明：(1)因为在正方形ADD A 中，M，M 分别为AD，AD 的中点，
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所以MM\s\do3(═)AA.
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又因为AA\s\do3(═)BB，
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所以MM∥BB，
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且MM＝BB.
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所以四边形BBMM为平行四边形．
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(2)由(1)知四边形BBMM为平行四边形，
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所以BM∥BM.
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同理可得四边形CC MM为平行四边形，
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所以C M∥CM.
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由平面几何知识可知，∠BMC和∠BMC 都是锐角，
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所以∠BMC＝∠BMC .
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10．如图，已知在棱长为a的正方体ABCDABC D 中，M，N分别是棱CD，AD的中
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点．
求证：(1)四边形MNA C 是梯形；
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(2)∠DNM＝∠DAC .
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证明：(1)如图，连接 AC，因为在△ACD 中，M，N 分别是
CD，AD的中点，所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质得：
AC∥AC ，AC＝AC .
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所以MN∥AC ，且MN＝AC ，即MN≠AC ，
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所以四边形MNA C 是梯形．
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(2)由(1)可知MN∥AC .
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又因为ND∥AD，所以∠DNM与∠DAC 相等或互补．
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而∠DNM与∠DAC 均为锐角，
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所以∠DNM＝∠DAC .
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[B 能力提升]
11．如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法不正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为矩形
解析：选D.由条件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.对于
A，由MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据定理，得∠QME＝
∠CBD，故 B 正确；对于 C，由定理知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，则
△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故D不正
确．
12．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，
BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为
________．
解析：因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，
所以EH∥BD，且EH＝BD，
同理FG∥BD，且FG＝BD.
所以EH＝FG＝BD＝1，同理EF＝GH＝AC＝2，
所以四边形EFGH的周长为6.
答案：6
13.(2019·丽水检测)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒
中有如下结论：
①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线．
AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
答案：①②
14.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，
F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH
的面积为28 cm2，求平行线EH，FG间的距离．解：在△BCD中，因为＝＝，
所以GF∥BD，＝.
所以FG＝4 cm.
在△ABD中，因为点E，H分别是AB、AD的中点，
所以EH＝BD＝3(cm)．
设EH，FG间的距离为d cm.
则×(4＋3)×d＝28，所以d＝8.
即EH和FG间的距离为8 cm.
[C 拓展探究]
15．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD
＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
因为＝＝，所以EH＝BD.
同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
