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7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若复数z=-2+i,z=1+2i,则复数z-z 在复平面内对应点所在的象限是( )
1 2 1 2
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案C
解析z-z =(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z-z 对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.
1 2 1 2
2.设z=2+bi,z=a+i,当z+z =0时,复数a+bi为 ( )
1 2 1 2
A.1+i B.2+i
C.3 D.-2-i
答案D
{2+a=0, {a=-2,
解析因为z+z =(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以 于是 故a+bi=-2-i.
1 2
b+1=0, b=-1,
3.复数z=a+4i,z=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为( )
1 2
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
答案A
{b+4=0,
解析由题意可知z
1
+z
2
=(a-3)+(b+4)i是实数,z
1
-z
2
=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故 a+3=0,解得
4-b≠0,
a=-3,b=-4.
4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量⃗OA,⃗OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,
则⃗CD对应的复数是( )
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
答案D
解析依题意有⃗CD=⃗BA=⃗OA-⃗OB,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即⃗CD对应的复数为4-2i,故选D.
5.若z=2+i,z=3+ai(a∈R),且z+z 所对应的点在实轴上,则a的值为( )
1 2 1 2
A.3 B.2
C.1 D.-1
答案D解析由于z+z =2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z+z 所对应的点在实轴上,所以1+a=0,故
1 2 1 2
a=-1.
6.已知复数z满足z+1+2i=10-3i,则z= .
答案9-5i
解析因为z+1+2i=10-3i,
所以z=(10-3i)-(2i+1)=9-5i.
7.已知z是复数,|z|=3且z+3i是纯虚数,则z= .
答案3i
解析设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,
∴a=0,b+3≠0.又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.
❑√3
8.已知z
1
= a+(a+1)i,z
2
=-3❑√3b+(b+2)i(a,b∈R),若z
1
-z
2
=4❑√3,求z
1
,z
2
.
2
❑√3
解z
1
-z
2
= a+(a+1)i-[-3❑√3b+(b+2)i]
2
❑√3
= a-(-3❑√3b) +[(a+1)-(b+2)]i
2
❑√3
= a+3❑√3b +(a-b-1)i=4❑√3,
2
{❑√3
a+3❑√3b=4❑√3, {a=2,
所以 解得
2
b=1,
a-b-1=0,
所以z=❑√3+3i,z=-3❑√3+3i.
1 2
9.设z,z∈C,已知|z |=|z|=1,|z +z |=❑√2,求|z -z |.
1 2 1 2 1 2 1 2
解设z=a+bi,z=c+di(a,b,c,d∈R),由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,
1 2
又(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,
所以2ac+2bd=0.因为|z -z |2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,故|z -z |=❑√2.
1 2 1 2
能力提升
1.(2019全国Ⅰ高考)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案C
解析设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,
所以|z-i|=❑√x2+(y-1)2=1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
2.若|z|+z=3+i,则z=( )
4 4
A.1- i B.1+ i
3 34 4
C. +i D.- +i
3 3
答案C
解析设复数z=x+yi(x,y∈R),
依题意有❑√x2+ y2+x+yi=3+i,
{ 4
{❑√x2+ y2+x=3, x= , 4
因此 解得 3 故z= +i.
y=1, 3
y=1,
3.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)= .
答案-2i
解析设z=a+bi(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i.
4.复数z=❑√3m-1-2mi,z=-m+m2i,若z+z >0,则实数m= ,z 对应的点位于第
1 2 1 2 2
象限.
答案2 三
解析z+z =(❑√3m-1-2mi)+(-m+m2i)
1 2
=(❑√3m-1-m)+(m2-2m)i.
∵z+z >0,∴z+z 为实数且大于0.
1 2 1 2
{❑√3m-1-m>0,
∴ 解得m=2.
m2-2m=0.
∴z=-2+4i,z =-2-4i,
2 2
对应点为(-2,-4),位于第三象限.
5.已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量⃗BA对应的复数为1+2i,向量⃗BC对应
的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
解(1)因为向量⃗BA对应的复数为1+2i,向量⃗BC对应的复数为3-i,
所以向量⃗AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又⃗OC=⃗OA+⃗AC,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
因为⃗AD=⃗BC,
所以向量⃗AD对应的复数为3-i,即⃗AD=(3,-1).
设D(x,y),则⃗AD=(x-2,y-1)=(3,-1),
{ x-2=3, {x=5,
所以 解得
y-1=-1, y=0.
故点D对应的复数为5.
(2)因为⃗BA·⃗BC=|⃗BA||⃗BC|cos B,
⃗BA·⃗BC 3-2 ❑√2
所以cos B= = = ,
|⃗BA||⃗BC| ❑√5×❑√10 107❑√2
即sin B= .
10
7❑√2
于是S=|⃗BA||⃗BC|sin B=❑√5×❑√10× =7,
10
故平行四边形ABCD的面积为7.
