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7.2.2 复数的乘、除运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.(2019全国Ⅱ高考)设z=i(2+i),则z=( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
答案D
解析z=2i+i2=-1+2i,则z=-1-2i.故选D.
2+i
2.复数 的实部为( )
1-2i
A.0 B.1 C.-1 D.2
答案A
2+i (2+i)(1+2i) 2+i+4i-2
解析因为 = = =i,所以实部为0.
1-2i (1-2i)(1+2i) 5
3.(2019全国Ⅲ高考)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
答案D
2i 2i(1-i) 2+2i
解析z= = = =1+i.故选D.
1+i (1+i)(1-i) 2
4.已知复数z=3+4i,z=a+i,且z z 是实数,则实数a等于( )
1 2 1 2
3 4 4 3
A. B. C.- D.-
4 3 3 4
答案A
3
解析z 1z =(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z 1z 是实数,所以4a-3=0,即a= .
2 2 4
1-z
5.设复数z满足 =i2 017,则|1+z|=( )
1+z
A.0 B.1 C.❑√2 D.2
答案C
1-z 1-i 1-i 2
解析因为 =i2 017=i,所以z= ,于是z+1= +1= =1-i,故|z+1|=❑√2.
1+z 1+i 1+i 1+i
1-i
6.已知复数z满足 =1+i,则在复平面内,复数z对应的点在( )
z-2
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案D
1-i 1-i (1-i)2
解析∵ =1+i,∴z-2= = =-i,∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1).故选D.
z-2 1+i (1+i)(1-i)
1-i
7.已知复数z= (i是虚数单位),则z2= ;|z|= .
i
答案2i ❑√2
1-i (1-i)(-i)
解析z= = =-1-i,
i -i2
∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=❑√2.
8.计算:
( 1 ❑√3 )
(1) - + i (2-i)(3+i);
2 2
(❑√2+❑√2i)2(4+5i)
(2) .
(5-4i)(1-i)
( 1 ❑√3 ) ( 1 ❑√3 ) ❑√3-7 7❑√3+1
解(1) - + i (2-i)(3+i)= - + i (7-i)= + i.
2 2 2 2 2 2
(2)
(❑√2+❑√2i)2(4+5i) 4i(4+5i) -20+16i -4(5-4i)(1+9i) -4(41+41i)
= = = = =-2-2i.
(5-4i)(1-i) 5-4-9i 1-9i 82 82
9.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断x=1-i是否为方程的根.
解(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,
{b+c=0, {b=-2,
于是 解得
2+b=0, c=2,
故b的值为-2,c的值为2.
(2)由(1)方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程左边得
x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
所以x=1-i也是方程的根.
能力提升
a
1.关于x的方程3x2- x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值等于 .
2
71
答案11或-
5a
解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2- m-1=(10-m-2m2)i,
2
{ 3m2- a m-1=0, 71
所以 2 解得a=11或- .
5
10-m-2m2=0,
2.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
解∵(1+2i)z=4+3i,
4+3i (4+3i)(1-2i) 10-5i
∴z= = = =2-i.
1+2i (1+2i)(1-2i) 5
∴z=2+i.
(2)(z+ai)2=(2+i+ai)2=4-(a+1)2+4(a+1)i,
∵复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,
{4-(a+1)2>0,
∴
4(a+1)>0,
解得-1
