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7.3* 复数的三角表示
课后篇巩固提升
基础巩固
[ ( π) ( π)]
1.将复数z=3 cos - +isin - 化成代数形式为 ;|z|= .
2 2
答案-3i 3
解析z=3(0-i)=-3i,|z|=3.
2.将复数z=-2❑√3+2i化成三角形式是 .
( 5 5 )
答案4 cos π+isin π
6 6
❑√3 5
解析模长|z|=❑√(-2❑√3)2+22=4,设辐角为θ,tan θ=- ,且点(-2❑√3,2)在第二象限,得辐角主值为 π,
3 6
( 5 5 )
故z=4 cos π+isin π .
6 6
3.[2(cos 60°+isin 60°)]3= .
答案-8
解析原式=23(cos 60°×3+isin 60°×3)
=8(cos 180°+isin 180°)=-8.
4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].
解4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]
4
= [cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]
2
=2[cos(-240°)+isin (-240°)]
( 1 ❑√3 )
=2 - + i =-1+❑√3i.
2 2
1( π π) π π
5.已知z= cos +isin ,z=6 cos +isin ,计算zz,并说明其几何意义.
1 2 1 2
2 3 3 6 6
1 (π π) π π
解zz= ×6× cos + +isin +
1 2
2 3 6 3 6
( π π)
=3 cos +isin =3i.
2 2
π
首先作复数z
1
对应的向量⃗OZ ,然后将⃗OZ 绕点O按逆时针方向旋转 ,再将其长度伸长为原来
1 1 6
的6倍,得到的向量即为zz 所对应向量.
1 21
6.已知复数z=r(cos θ+isin θ),r≠0,求 的三角形式.
z
1 (cos0°+isin0°) 1 1
解 = = [cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]= [cos(-θ)+isin(-θ)].
z r(cosθ+isinθ) r r
能力提升
(1 ❑√3 ) 20
1. - i ÷(3i)= .
2 2
❑√3 1
答案- + i
6 6
20
解析原式= [ cos ( - π) +isin ( - π)] ÷ 3 cos π +isin π = cos ( - 20π) +isin ( - 20π) ÷ 3 cos
3 3 2 2 3 3
π π 4π 4π π π
+isin = cos +isin ÷ 3 cos +isin
2 2 3 3 2 2
=
1
cos
(4π
-
π)
+isin
(4π
-
π)
=
1(
cos
5π
+isin
5π)
=
1(
-
❑√3
+
1
i
)
=-
❑√3
+
1
i.
3 3 2 3 2 3 6 6 3 2 2 6 6
(cos3θ+isin3θ)3·(cos2θ+isin2θ)7
2.求证: =cos θ-isin θ.
(cos4θ+isin4θ)6
(cos9θ+isin9θ)·(cos14θ+isin14θ)
证明左边=
(cos24θ+isin24θ)
(cos23θ+isin23θ)
= =cos(-θ)+isin(-θ)
(cos24θ+isin24θ)
=cos θ-isin θ=右边.
