文档内容
1.4.2 充要条件
(教师独具内容)
课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定
义与充要条件的关系．
教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论
之间的充要性．
教学难点：判断条件与结论之间的充要性．
【知识导学】
知识点 充要条件
(1)如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有
□ p ⇒ q ，又有 □ q ⇒ p ，就记作 □ p ⇔ q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要
条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 □ 充要条件 (sufficient and necessary
condition)．
(2)当p是q的充要条件时，q也是p的 □ 充要 条件．
(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立 □ 当且仅当 q成立”，或“p与q□
等价”．
【新知拓展】
1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．
(3)若p⇒q，且q ⇒ p，则称p是q的充分不必要条件．
(4)若p⇒ q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
(5)若p⇒ q，且q⇒ p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|
q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A⊆B且B A，即AB，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B⊆A且A B，即BA，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是
s的充要条件．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“⇔”具有传递性．( )
(3)若p⇒q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )
(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________．
(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要
不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为 3∶2”是“对应高的比为 3∶2”的
________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必
要”中选一个合适的填空)
答案 (1)x＝1或x＝2 (2)充要 (3)充要
题型一 充要条件的概念及判断方法
例1 在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＝b，q：ac＝bc；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：A∩B＝A，q： ∁U B⊆∁U A.
[解] (1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条
件，但不是必要条件．
(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以
p是q的充要条件．
(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以
p是q的充要条件．
[题型探究] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，
r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
解 作出“⇒”图，如右图所示，可知：
p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.
(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，
∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.
金版点睛
判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断 p是q的充分必要条件，主要是判断 p⇒q及q⇒p这两个
命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若
q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p
与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断 p⇒q及
q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关
系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综
合结构图，可降低解题难度．
指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(2)p：q：
(3)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0.
解 (1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，所以A∪B＝A⇔A∩B＝
B，所以p是q的充要条件．
(2)由根据不等式的性质可得
即p⇒q，而由不能推出
如：α＝1，β＝5满足但不满足α>2.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)由a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所
以p是q的充要条件．
题型二 充要条件的证明
例2 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
[证明] ①充分性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2
－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
[题型探究] 已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充
分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
证明 因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－
2b2＝a2－b2＝1.
即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．
另一方面，若a4－b4－2b2＝1，
即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，
a4－(b2＋1)2＝0，
(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.
又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件．
金版点睛
充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条
件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，
必要性需要证明“结论”⇒“条件”．
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是
ac<0.
证明 ①必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b2－
4ac>0，x x ＝<0，∴ac<0.
1 2
②充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x x ＝<0，
1 2
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程 ax2＋bx＋c
＝0有一正根和一负根．
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件
是ac<0.
题型三 探求充要条件
例3 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] ①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件
是判别式 Δ≥0，即 4－4a≥0，从而 a≤1.设方程 ax2＋2x＋1＝0的两根分别为
x ，x ，则x ＋x ＝－，x x ＝.
1 2 1 2 1 2
(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⇒a<0；
(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为⇒01”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为x<－1⇒|x|>1，而|x|>1⇒x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的
充分不必要条件．
4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．答案 a<0
解析 由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.
5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明 证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
②必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
证法二：<⇔－<0⇔<0.
由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.
所以<⇔xy>0，即<的充要条件是xy>0.
