文档内容
1.4.1 充分条件与必要条件
(教师独具内容)
课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定
定理与充分条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理
解性质定理与必要条件的关系．
教学重点：1.掌握充分条件的概念，理解充分条件的意义，会判断条件与结
论之间的充分性.2.掌握必要条件的概念，理解必要条件的意义，会判断条件与结
论之间的必要性．
教学难点：1.判断条件与结论之间的充分性.2.判断条件与结论之间的必要性．
【知识导学】
知识点一 命题的概念及结构
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做
□ 命题． 判断为真的语句是 □ 真命题 ，判断为假的语句是 □ 假命题．
(2)当命题表示为“若p，则q”时， □ p 是命题的条件， □ q 是命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为 □ 真命题 ，是指由p通过推理可以得出q.这时，我
们就说，由p可以推出q，记作 □ p ⇒ q ，并且说，p是q的 □ 充分条件 (sufficient
condition)，q是p的 □ 必要条件 (necessary condition)．
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作□p⇒q.此
时，我们就说p不是q的 □ 充分条件 ，q不是p的 □ 必要条件．
【新知拓展】
1．p⇒q的含义
(1)“若p，则q”形式的命题为真命题．
(2)由条件p可以得到结论q.
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；
q是p的必要条件或p的必要条件是q.
(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是
必要的．(5)为得到结论q，具备条件p就可以推出．
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即
p⇒q，只是说法不同而已．
2．对充分条件概念的理解
“若p，则q”为假命题时，p推不出q，q不是p的必要条件，p也不是q的
充分条件．
3．对充分条件的理解
(1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，
条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
(2)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件．
必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．( )
(2)内错角相等⇒两直线平行．( )
(3)“x＝0”是“x2＝2x”的必要条件．( )
(4)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要条件．(
)
(5)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．
(2)设集合 M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的
________条件．
(3)“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________条件．
答案 (1)充分 (2)必要 (3)必要
题型一 充分条件、必要条件的概念及判断方法
例1 在以下各题中，判断哪些能 p⇒q，哪些能q⇒p，并分析各题中p与q
的关系．
(1)p：x是整数，q：x2是整数；
(2)p：a>b，q：ac>bc(c≥0)；
(3)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分．
[解] (1)当x是整数时，x2一定是整数，即p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)不等式ac>bc(c≥0)中隐含了c≠0，即此时c>0，在此不等式两边同除以
正数c，便得a>b，即q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
(3)因为当四边形是正方形时，对角线互相垂直平分且相等，所以 p⇒q，故p
是q的充分条件，q是p的必要条件．
例2 在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
[解] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，
∴q是p的必要条件．
(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，
∴q不是p的必要条件．
(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，
解得m<－.
∵m<－2⇒m<－，
∴q是p的必要条件．
[结论探究] 如果把本例中“q是p的必要条件吗？”改为“p是q的必要条
件吗？”，其他不变，该如何解答呢？
解 (1)∵(x－2)(x－3)＝0推不出x－2＝0，∴p不是q的必要条件．
(2)∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，
∴p是q的必要条件．
(3)∵方程x2－x－m＝0无实根推不出m<－2，
∴p不是q的必要条件．
金版点睛
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断 p⇒q和q⇒p是否成立，最后得
出结论．
2命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p
的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也
不是p的必要条件.
3集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围.
4传递法：由推式的传递性：p ⇒p ⇒p ⇒…⇒p ，则p 是p 的必要条件.
1 2 3 n n 1
(1)设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件；
(2)在下列各题中，q是p的必要条件吗？p是 q的必要条件吗？为什么？
①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
②p：a1；当b>0时，<1，故a0，b>0，<1时，可以推出ab.
∴p不是q的必要条件.
题型二 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3 (1)已知p：关于x的不等式0，
要使A⊆B，应有
综上可得，实数m的取值范围是m≤3.
(2)由已知可得
A＝y＝2－，x∈R}＝y≥－}，
B＝{x|x≥－2m}．
因为q是p的必要条件，
所以p⇒q，所以A⊆B，所以－2m≤－，所以m≥，
即实数m的取值范围是m≥.
金版点睛
利用充分条件或必要条件求参数的思路
根据充分条件或必要条件求参数的取值范围时，先将 p，q等价转化，再根
据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包
含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求
m的值；
(2)已知M＝{x|a－10”是“x>0”的充分条件
B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件
C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件
D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件
答案 B
解析 A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故“x2>0”是
“x>0”的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝
0，故“xy＝0”是“x＝0”的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推
出 a＝b，而 a＝b⇒|a|＝|b|，故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件．D 中，|x|
>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故“|x|>1”是“x2不小于1”的充
分条件，故本题应选B.
4．“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的________条件．
答案 充分
解析 由 ac<0⇒b2－4ac>0⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而 ax2＋bx＋c＝
0(a≠0)有实根不能推出ac<0.故“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充分
条件．
5．下列各题中，q是p的必要条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解 (1)因为|x|＝|y|推不出x＝y，
所以q不是p的必要条件．
因为x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要条件．
(2)因为△ABC是直角三角形推不出△ABC是等腰三角形，所以q不是p的必
要条件．
又因为△ABC是等腰三角形也推不出△ABC是直角三角形，所以p也不是q的
必要条件．
(3)因为四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形，
所以q不是p的必要条件．
因为四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要条件．
