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4.3.2 对数的运算
(教师独具内容)
课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．
掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．
教学重点：对数的运算性质、换底公式．
教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.
【知识导学】
知识点一 对数运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，
(1)log (MN)＝ □ lo g M ＋ log N；
a a a
(2)log ＝ □ lo g M － log N；
a a a
(3)log Mn＝ □ n lo g M(n∈R)．
a a
知识点二 换底公式
(1)对数的换底公式：□log b＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．
a
(2)三个较为常用的推论
① □ lo g b ·log c ·log a ＝ 1( a >0 ， b >0 ， c >0 ，且均不为 1) ；
a b c
②□log b＝(a>0，b>0，且均不为1)；
a
③log bn＝□log b(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．
am a
【新知拓展】
(1)推广：log (N N …N )＝log N ＋log N ＋…＋log N (N ＞0，k∈N*)．
a 1 2 k a 1 a 2 a k k
(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数
问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．
(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、
减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件．
(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下
列式子不成立：log (MN)＝log M·log N，log (M±N)＝log M±log N，log ＝，
a a a a a a a
log Mn＝(log M)n.
a a
(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于
化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积、商的对数可以化为它们对数的和、差．( )
(2)log (xy)＝log x·log y.( )
a a a
(3)log (－5)2＝2log (－5)．( )
2 2(4)由换底公式可得log b＝.( )
a
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)log 25－log 5＝________.
3 3
(2)lg 8＋lg 53＝________.
(3)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log 5＝________.
7
答案 (1)log 5 (2)3 (3)
3
题型一 对数运算性质的应用
例1 若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①log x·log y＝log (x＋y)；
a a a
②log x－log y＝log (x－y)；
a a a
③log (xy)＝log x·log y；④＝log ；
a a a a
⑤(log x)n＝log xn；⑥log x＝－log ；
a a a a
⑦＝log ；⑧log ＝－log .
a a a
其中式子成立的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[解析] 对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log 4·log 2＝2×1＝2，而log (4
2 2 2
＋2)＝log 6≠2，∴log x·log y＝log (x＋y)不成立；
2 a a a
对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log 8－log 4＝1≠log (8－4)＝2，∴log x
2 2 2 a
－log y＝log (x－y)不成立；
a a
对于③，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log (4×2)＝log 8＝3，而 log 4·log 2＝
2 2 2 2
2×1＝2≠3，∴log (xy)＝log x·log y不成立；
a a a
对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log ＝1，∴＝log 不成立；
2 a
对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log 4)3＝8≠log 43＝6，
2 2
∴(log x)n＝log xn不成立；
a a
⑥成立，由于－log ＝－log x－1＝log (x－1)－1＝log x；
a a a a
⑦成立，由于log ＝log x＝log x；
a a a
⑧成立，由于log ＝log －1＝－log .
a a a
[答案] A
例2 化简：(1)4lg 2＋3lg 5－lg ；
(2)；
(3)2log 2－log ＋log 8－5log53；
3 3 3
(4)log ＋log .
2 2[解] (1)原式＝lg ＝lg 104＝4.
＝＝.
(3)原式＝2log 2－(log 32－log 9)＋3log 2－3＝5log 2－(5log 2－2)－3＝－1.
3 3 3 3 3 3
(4)原式＝log (·)＝log 4＝2.
2 2
金版点睛
对数式化简与求值的原则和方法
(1)基本原则
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，
取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
(3)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg ＝－lg a等．
计算：
(1)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(2)log 35－2log ＋log 7－log 1.8；
5 5 5 5
(3)log ＋log 12－log 42－1.
2 2 2
解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝
2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(2)原式＝log (5×7)－2(log 7－log 3)＋log 7－log ＝log 5＋log 7－2log 7＋
5 5 5 5 5 5 5 5
2log 3＋log 7－2log 3＋log 5＝2.
5 5 5 5
(3)原式＝log ＋log 12－log －log 2
2 2 2 2
＝log ＝log
2 2
＝log 2＝－.
2
题型二 换底公式的应用
例3 计算：(1)(log 3＋log 3)；
4 8(2)(log 125＋log 25＋log 5)(log 2＋log 4＋log 8)．
2 4 8 5 25 125
[解] (1)原式＝＝·＋·＝＋＝.
(2)解法一：原式＝
＝
＝log 5·3log 2
2 5
＝13log 5·＝13.
2
解法二：原式＝
＝
＝·＝13.
解法三：原式＝
(log 53＋log 52＋log 51)(log 2＋log 22＋log 23)
2 22 23 5 52 53
＝(log 2＋log 2＋log 2)
5 5 5
＝log 5·3log 2
2 5
＝×3
＝13.
金版点睛
换底公式在求值中的应用
利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的
对数，即可用对数的运算性质来解决对数的求值问题，同时要注意换底公式的逆
用和变形应用．
计算：
(1)log 3×log 4×log 5×log 6×log 7×log 8；
2 3 4 5 6 7
(2)＋log (－ )．
2
解 (1)原式＝×××××＝＝＝3.题型三 对数式的条件求值问题
例4 已知log 9＝a,18b＝5，试用a，b表示log 45.
18 36
[解] 解法一：∵18b＝5，∴log 5＝b，
18
又log 9＝a，
18
∴log 45＝＝＝＝.
36
解法二：∵log 9＝＝a，∴lg 9＝alg 18，
18
同理得lg 5＝blg 18，
∴log 45＝＝＝
36
＝＝.
解法三：∵log 9＝a，∴log ＝1－log 2＝a，
18 18 18
∴log 2＝1－a.
18
∵18b＝5，∴log 5＝b，
18
∴log 45＝＝＝.
36
解法四：∵log 9＝a，∴18a＝9.
18
又18b＝5，∴45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.
令log 45＝x，则36x＝45＝18a＋b，
36
即x＝18a＋b,182x＝9x·18a＋b.
∵18a＝9，∴182x＝(18a)x·18a＋b＝18ax·18a＋b＝18ax＋a＋b.
∴2x＝ax＋a＋b，∴x＝，即log 45＝.
36
金版点睛
指数式与对数式之间的转化是解题关键
对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性
质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数之间的
转化是解题的关键．
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特
征，灵活运用指数式与对数式的互化．
已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．
解 解法一：设ax＝by＝cz＝t，∴x＝log t，y＝log t，z＝log t，
a b c
∴＋＋＝＋＋＝loga＋logb＋logc＝log(abc)＝0，
t t t t
∴abc＝t0＝1，即abc＝1.
解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，
∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝，y＝，z＝，
∴＋＋＝＋＋＝.
∵＋＋＝0，且lg t≠0，
∴lg a＋lg b＋lg c ＝lg (abc)＝0，∴abc＝1.
1．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(
)
①log x2＝2log x；②log x2＝2log |x|；③log (xy)＝log x＋log y；④log (xy)＝
a a a a a a a a
log |x|＋log |y|.
a a
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
答案 B
解析 ∵xy>0，∴①中若x<0则不成立；③中若x<0，y<0也不成立，故选B.
2．计算log 16×log 81的值为( )
9 8
A．18 B. C. D.
答案 C
解析 log 16×log 81＝×＝×＝，故选C.
9 8
3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log 6＝( )
3
A. B. C. D.
答案 B
解析 log 6＝＝＝，故选B.
3
4．已知log 2＝m，log 3＝n，则log 18＝________(用m，n表示)．
a a a
答案 m＋2n
解析 log 18＝log (2×32)＝log 2＋log 32＝log 2＋2log 3＝m＋2n.
a a a a a a
