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第八章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
π
1.已知边长为1的菱形ABCD中,A= ,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( )
3
❑√3 ❑√3 ❑√6 ❑√6
A. B. C. D.
2 4 6 8
答案D
π 1 π ❑√3
解析在菱形ABCD中,AB=1,A= ,则菱形的面积为S 菱形ABCD =2S △ABD =2× ×1×1×sin = .
3 2 3 2
❑√2 ❑√6
所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为S= S = .
菱形ABCD
4 8
2.
如图,一圆锥的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为( )
❑√15 8❑√3
A. B.
3 3
❑√15 8❑√3
C. π D. π
3 3
答案C
解析圆锥的侧面展开图为扇形,此扇形的半径R=4,设其弧长为l,侧面积为扇形的面积,所以扇形的面
1
积S= Rl=4π,解得弧长l=2π,所以圆锥的底面周长为2π,由此可知底面半径r=1,所以底面面积为
1
2
1 ❑√15
S=π,体高为h=❑√15,故圆锥的体积V= Sh= π.
3 3
3.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离
为1,则二面角C-BM-A的大小为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案C解析如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=❑√2.
❑√2
∵M为A'C的中点,∴MC=AM= ,且CM⊥BM,AM⊥BM,
2
∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.
❑√2
∵AC=1,MC=MA= ,∴∠CMA=90°,故选C.
2
4.
如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2❑√2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在
直线旋转一周所成几何体的表面积为( )
A.(60+4❑√2)π B.(60+8❑√2)π
C.(56+8❑√2)π D.(56+4❑√2)π
答案A
解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.
S =S +S +S =πr2+π(r+r )l+πrl=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2❑√2=(60+4❑√2
表面 圆台下底面 圆台侧面 圆锥侧面 2 1 2 2 11
)π.故选A.
5.在长方体ABCD-A BC D 中,AB=BC=2,AA=1,则BC 与平面BBDD所成的角的正弦值为( )
1 1 1 1 1 1 1 1
❑√6 2❑√5 ❑√15 ❑√10
A. B. C. D.
3 5 5 5
答案D
解析在平面ABC D 内过点C 作BD 的垂线,垂足为E,连接BE.
1 1 1 1 1 1 1
C E⊥B D }
1 1 1 C E⊥平面BDD B,
C E⊥BB 1 1 1
1 1
⇒
∴∠C BE的正弦值就是所求角的正弦值.
1
2×2
∵BC
1
=❑√22+12=❑√5 ,C
1
E= =❑√2,
2❑√2
C E ❑√2 ❑√10
∴sin∠C BE= 1 = = .
1
BC ❑√5 5
16.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且
AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为( )
A.13 B.❑√151 C.12❑√3 D.15
答案A
解析如图,连接AD.
∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.在Rt△ABD中,AD=❑√AB2+BD2=❑√42+122=❑√160=4❑√10.
在Rt△CAD中,CD=❑√AC2+AD2=❑√32+160=13.
7.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=2❑√3,E,F分别是AB,CD的中点,EF=❑√7,则异面直线AD与BC
所成角的大小为( )
A.150° B.60° C.120° D.30°
答案D
解析如图所示.设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EO∥AD,FO∥BC,
则∠EOF是AD,BC所成的角或其补角,
1 1
又EO= AD=1,FO= BC=❑√3 ,EF=❑√7 ,
2 2
1+3-7 ❑√3
根据余弦定理,得cos∠EOF= =- ,
2❑√3 2
所以∠EOF=150°,
异面直线AD与BC所成的角为30°.
8.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD,PA⊥底面ABCD,AB=2,若该四棱锥的所有顶点都在体积为
9π
的同一球面上,则PA的长为( )
2
1
A.3 B.2 C.1 D.
2
答案C解析连接AC,BD交于点E,取PC的中点O,连接OE,可得OE∥PA.
∵PA⊥平面ABCD,
∴OE⊥底面ABCD,可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,设球半径为R,可得R=
1 1
PC= ❑√PA2+8,
2 2
可得 4 π· (1 ❑√PA2+8 ) 3 = 9π ,解得PA=1.
3 2 2
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题不正确的是( )
A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α
B.若m α,n β,m∥n,则α∥β
C.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
⊂ ⊂
D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α
答案ABC
解析选项A的已知条件中加上m β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,
容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两
⊂
个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由
n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.
10.如图,已知正方体ABCD-A BC D,M,N分别为AD 和AA 的中点,则下列四种说法中正确的是(
1 1 1 1 1 1 1
)
A.C M∥AC
1
B.BD⊥AC
1
C.BC 与AC所成的角为60°
1
D.CD与BN为异面直线
答案BCD
解析由正方体ABCD-A BC D 中,M,N分别为AD 和AA 的中点,可知:在A中,
1 1 1 1 1 1 1
AC∥AC ,AC ∩C M=C ,∴C M与AC是异面直线,故A错误;
1 1 1 1 1 1 1在B中,∵AC⊥DD ,AC⊥BD,BD∩DD =D,
1 1
∴AC⊥平面BDD ,又BD 平面BDD ,故BD⊥AC,故B正确;在C中,
1 1 1
AC∥AC ,BC=A C =BA ,∴BC 与AC所成的角为60°,故C正确;在D中,CD∥AB,AB∩BN=B,故CD与
1 1 1 1 1 ⊂1
BN为异面直线,故D正确.故选BCD.
11.
如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列
结论正确的是( )
A.PD∥平面OMN
B.平面PCD∥平面OMN
C.直线PD与直线MN所成角的大小为90°
D.ON⊥PB
答案ABD
解析连接BD,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,
PD∥平面OMN,A正确;
由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又底面为正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,
由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由选项A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理
可得,平面PCD∥平面OMN,B正确;
因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以
∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误;
因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,
又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确.故选ABD.
12.
(2020届山东模拟考)正方体ABCD-A BC D 的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC ,BB 的中点,则( )
1 1 1 1 1 1
A.直线DD与直线AF垂直
1
B.直线AG与平面AEF平行
1
9
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
8
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
答案BC解析∵AD∥EF,∴平面AEF即平面AEFD ,故A错误.∵AG∥DF,AG⊄AEFD ,
1 1 1 1 1 1
∴AG∥平面AEFD ,故B正确.
1 1
9
平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD ,易知梯形面积为 ,故C正确.
1
8
点G到平面AEFM的距离即点A 到面ADF的距离,显然D错误.故选BC.
1 1
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆柱的高是8 cm,表面积是130π cm2,则它的底面圆的半径等于 cm,圆柱的体积是
cm3.
答案5 200π
解析设圆柱的底面圆的半径为r cm,
则S =2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5 cm.圆柱的体积
圆柱表
V=52π×8=200π(cm3).
14.
如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位
置关系是 .
⊂
答案平行
解析∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,
∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a 平面β,∴EB⊥a.
⊂
又a⊥AB,EB∩AB=B,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
⊂
15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点
A到△BCD所在平面的距离为 .
❑√3
答案
2
解析设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且
❑√3
AO=1,故d=1×sin 60°= .
2
16.(2019全国Ⅲ高考)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-
ABC D 挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中
1 1 1 1
点,AB=BC=6 cm,AA=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料
1
的质量为 g.答案118.8
1
解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4× ×2×3=12(cm2),点O到平面BBC C的距离为3
1 1
2
1
cm,则此四棱锥的体积为V= ×12×3=12(cm3).
1
3
又长方体ABCD-A BC D 的体积为V=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V -V =144-
1 1 1 1 2 2 1
12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在三棱锥A-BCD中,E,H分别是线段AB,AD的中点,F,G分别是线段CB,CD上的点,且
CF CG 1
= = .求证:
BF DG 2
(1)四边形EFGH是梯形;
(2)AC,EF,GH三条直线相交于同一点.
证明(1)∵E,H分别是边AB,AD的中点,
1
∴EH∥BD,且EH= BD,
2
CF CG 1 1
又∵ = = ,∴FG∥BD,且FG= BD,
CB CD 3 3
因此EH∥FG且EH≠FG,
故四边形EFGH是梯形.
(2)由(1)知EF,HG相交,
设EF∩HG=K,∵K∈EF,EF 平面ABC,
∴K∈平面ABC,
⊂
同理K∈平面ACD,
又平面ABC∩平面ACD=AC,∴K∈AC,
故EF和GH的交点在直线AC上.
所以AC,EF,GH三条直线相交于同一点.
18.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-ABC 中,底面△ABC为正三角形,且侧棱垂直于底
1 1 1
面.AB=2,AA=2,从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA)到达顶点C ,与AA 的交点记为M.求:
1 1 1 1
(1)三棱柱ABC-ABC 侧面展开图的对角线长;
1 1 1
A M
(2)从B经过M到C 的最短路线长及此时 1 的值.
1
AM
解沿侧棱BB 将三棱柱ABC-ABC 的侧面展开,得到一个矩形BBB'B'(如图).
1 1 1 1 1 1
(1)矩形BBB' B'的长为BB'=6,宽为BB=2.
1 1 1
所以三棱柱ABC-ABC 侧面展开图的对角线长为❑√62+22=2❑√10.
1 1 1
(2)由侧面展开图可知,当B,M,C 三点共线时,从B经过M到达C 的路线最短.所以最短路线长为
1 1
A M
BC
1
=❑√42+22=2❑√5.显然Rt△ABM≌Rt△A
1
C
1
M,所以A
1
M=AM,即 1 =1.所以从B经过M到C
1
的
AM
A M
最短路线长为2❑√5,此时 1 的值为1.
AM
19.(12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面
直径为12 m,高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建
的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
1 1 (16) 2 256π
解(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积为V= S·h= ×π× ×4= (m3).
1
3 3 2 31 1 (12) 2
若按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积为V= S·h= ×π× ×8=96π(m3).
2
3 3 2
(2)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m.圆锥的母线长为l=❑√82+42=4❑√5(m),
1
则仓库的表面积为S=π×8×4❑√5=32❑√5π(m2).
1
若按方案二,仓库的高变成8 m.
圆锥的母线长为l=❑√62+82=10(m),
2
则仓库的表面积为S=π×6×10=60π(m2).
2
(3)∵V
