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第六章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b= ( )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(3,-1) D.(-3,1)
答案A
解析∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.
∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).
2.在△ABC中,若A=60°,BC=4❑√3,AC=4❑√2,则角B的大小为( )
A.30° B.45°
C.135° D.45°或135°
答案B
BC AC ACsinA 4❑√2sin60° ❑√2
解析由正弦定理,得 = ,则sin B= = = .因为BC>AC,所以A>B,
sin A sinB BC 4❑√3 2
而A=60°,所以B=45°.
3.(2018全国Ⅱ高考)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
答案B
解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为( )
❑√3 2❑√3
A. B. C.❑√3 D.2❑√3
3 3
答案C
1
解析将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S
△ABC
= absin C=❑√3.
2
5.在△ABC中,若其面积为S,且⃗AB·⃗AC=2❑√3S,则角A的大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案A
1 1
解析因为S= AB·AC·sin A,而⃗AB·⃗AC =AB·AC·cos A,所以AB·AC·cos A=2❑√3× AB·AC·sin A,所以
2 2
❑√3
tan A= ,故A=30°.
3
6.(2018全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则⃗EB=( )3 1 1 3
A. ⃗AB- ⃗AC B. ⃗AB- ⃗AC
4 4 4 4
3 1 1 3
C. ⃗AB+ ⃗AC D. ⃗AB+ ⃗AC
4 4 4 4
答案A
解析如图,⃗EB=-⃗BE
1
=- (⃗BA+⃗BD)
2
1 1
= ⃗AB- ⃗BC
2 4
1 1 3 1
= ⃗AB- (⃗AC-⃗AB)= ⃗AB- ⃗AC.
2 4 4 4
7.在△ABC中,AB=❑√3,AC=2,若O为△ABC内部的一点,且满足⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则⃗AO·⃗BC=(
)
1 2 1 1
A. B. C. D.
2 5 3 4
答案C
1
解析由⃗OA+⃗OB+⃗OC =0可知O为△ABC的重心,于是⃗AO·⃗BC= (⃗AB+⃗AC)·(⃗AC-⃗AB )=
3
1 1
(⃗AC2-⃗AB2)= .
3 3
π
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=❑√7 ,C= ,则
3
△ABC的面积是( )
3❑√3 7❑√3
A. B.
4 6
❑√21 3❑√3 7❑√3
C. D. 或
3 4 6
答案D
解析∵sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A,sin 2A=2sin Acos A,sin(B+A)
π π ❑√21
+sin(B-A)=3sin 2A,∴2sin Bcos A=6sin Acos A.当cos A=0时,A= ,B= .又c=❑√7,所以b= .由三
2 6 3
1 7❑√3
角形的面积公式,得S= bc= ;当cos A≠0时,由2sin Bcos A=6sin Acos A,得sin B=3sin A.根据正弦
2 6a2+b2-c2 a2+9a2-7 π 1
定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cos C= = =cos = ,解得a=1,b=3,所以此时
2ab 6a2 3 2
1 3❑√3 7❑√3 3❑√3
△ABC的面积为S= absin C= .综上可得△ABC的面积为 或 ,故选D.
2 4 6 4
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法错误的是( )
A.⃗AB∥⃗CD就是⃗AB所在的直线平行于⃗CD所在的直线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
答案ABD
解析⃗AB∥⃗CD包含⃗AB所在的直线与⃗CD所在的直线平行和重合两种情况,故A项错;相等向量不仅
要求长度相等,还要求方向相同,故B项错;按定义,零向量的长度等于0,故C项正确;共线向量可以是
在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D项错.
10.(2019山东济南高一期末)对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是( )
A.若a∥b且b∥c,则a∥c
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案ACD
解析对于A,b=0,命题不成立;对于B,这是平面向量数乘的分配律,显然成立;对于C,若a和b,c都垂直,
显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以命题不成立;对于D,如图,若a=⃗AB,b=⃗AC,c=⃗AD,则
(a·b)·c与a·(b·c)是一个分别和c,a共线的向量,显然命题(a·b)·c=a·(b·c)不成立.故选ACD.
11.(2019福建厦门外国语学校高一月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命
题中正确的是( )
a b c
A.若 = = ,则△ABC一定是等边三角形
cosA cosB cosC
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形
答案ACa b c
解析由 = = ,
cosA cosB cosC
sin A sinB sinC
利用正弦定理可得 = = ,
cosA cosB cosC
即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,
所以△ABC是等边三角形,A正确;
由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;
由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,
即sin (B+C)=sin B,即sin A=sin B,
则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;
a2+b2-c2
由余弦定理可得cos C= >0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确,故选AC.
2ab
12.(2019山东烟台高一期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
8❑√7
D.若c=6,则△ABC外接圆半径为
7
答案ACD
{a+b=9x,
解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设 a+c=10x,(x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以
b+c=11x
sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知:c边最大,所以三角形中C角最大,
a2+b2-c2 (4x)2+(5x)2-(6x)2 1
又cos C= = = >0,所以C角为锐角,所以B错误;
2ab 2×4x×5x 8
由上可知a边最小,所以三角形中A角最小,
c2+b2-a2 (6x)2+(5x)2-(4x)2 3
又cos A= = = ,
2cb 2×6x×5x 4
1
所以cos 2A=2cos2A-1= ,所以cos 2A=cos C.
8( π)
由三角形中C角最大且C角为锐角可得:2A∈(0,π),C∈ 0, ,所以2A=C,所以C正确;由正弦
2
6
定理得2R=
c
,又sin C=❑√1-cos2C=
3❑√7
,所以2R=
3❑√7
,解得R=
8❑√7
,所以D正确.故选
sinC 8 7
8
ACD.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019全国Ⅲ高考)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-❑√5b,则cos= .
2
答案
3
解析∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-❑√5b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4❑√5a·b=9,
∴|c|=3.又a·c=2|a|2-❑√5a·b=2,
a·c 2 2
∴cos= = = .
|a|·|c| 1×3 3
14.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60°,则b= ,C= .
答案2❑√3 30°
解析在△ABC中,因为a=4,c=2,B=60°,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+22-2×4×2cos 60°=12,所
csinB 2sin60° 1
以b=2❑√3,又由正弦定理,得sin C= = = ,又由c0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
sin A sinB sinCcosA cosB sinC cosA cosB sinC
代入 + = 中,有 + = ,变形可得sin Asin B=sin Acos
a b c ksin A ksinB ksinC
B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.
6
(2)解由已知,b2+c2-a2= bc,
5
b2+c2-a2 3
根据余弦定理,有cos A= = .
2bc 5
4
所以sin A=❑√1-cos2A= .
5
由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
4 4 3
所以 sin B= cos B+ sin B,
5 5 5
sinB
故tan B= =4.
cosB
A+C
20.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A.
2
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
A+C A+C
解(1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sin =sin B.
2 2
A+C B
由A+B+C=180°,可得sin =cos ,
2 2
B B B
故cos =2sin cos .
2 2 2
B B 1
因为cos ≠0,故sin = ,因此B=60°.
2 2 2
❑√3
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S = a.
△ABC
4
csin A sin(120°-C) ❑√3 1
由正弦定理得a= = = + .由于△ABC为锐角三角形,故
sinC sinC 2tanC 2
0°
