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4.5.3 函数模型的应用
第 1 课时 用函数模型解决实际问题
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语
言和工具.2.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
教学重点：用函数刻画实际问题．
教学难点：准确理解题意，理清变量间的关系．
【知识导学】
知识点 函数模型应用的两个方面
(1)利用 □ 已知函数模型 解决问题．
(2)建立恰当的 □ 函数模型 ，并利用所得函数模型 □ 解释有关现象 ，对某些发
展趋势 □ 进行预测．
【新知拓展】
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指
数函数模型表示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x
为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对
应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情
况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求
值，然后根据值回答其实际意义．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．( )
(2)某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4000辆次，存车费为：电动自行
车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收
入为y元，则y与x的关系为y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000，x∈Z)．( )
(3)某种细胞分裂时，由 1个分裂成2个，2个分裂成4个，…现有2个这样
的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y＝2x.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做
(1)从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，
如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( )
A．17 B．18C．19 D．20
(2)某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，
温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.
答案 (1)C (2)8
题型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半
所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
[解] (1)最初的质量为500 g.
经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；
经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；
由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，
所以t＝＝≈6.6(年)，
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．
金版点睛
在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、
二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法
求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．
某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解
答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg
1.012≈0.005)
解 (1)2009年底人口总数为100万人，
经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝
100×(1＋1.2%)2；
经过3年，2012年底人口总数为 100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；
……
所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，
所以y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N*.
(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x ＞120，
两边取常用对数，得lg [100×(1＋1.2%)x]＞lg 120，
整理得2＋xlg 1.012＞2＋lg 1.2，得x≥16，
所以大约16年以后，该城市人口将超过120万人.
题型二 自建函数模型解决实际问题
例2 渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际
养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量 y和实际养殖量
与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为
k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
[解] (1)根据题意知，空闲率是，故 y 关于 x 的函数关系式是 y＝kx·，
0<x<m.
(2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－·2＋，0<x<m.
则当x＝时，y ＝.
max
所以，鱼群年增长量的最大值为.
金版点睛
建立数学模型应注意的问题
用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建
立数学模型一定要过好三关：
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解
题打开突破口．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表
达文字关系．
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认
定或构建相应的数学模型．
一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比
相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10年．为保护生态环境，森林面积
至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10＝a，即(1－x)10
＝，解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即 ，所以＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
所以 ，所以≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
1．若镭经过100年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为1的镭经过x年后
剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
答案 A
解析 设镭的衰变率为 a，则(1－a)100＝0.9576，得 1－a＝0.9576，则 y＝
0.9576，故选A．
2．有一组试验数据如表所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是( )A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1
C．y＝2log x D．y＝x3
2
答案 B
解析 根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.
3．据报道，某淡水湖的湖水在 50年内减少了10%，若按此规律，设2019
年的湖水量为m，从2019年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为________．
答案 y＝0.9m
解析 设淡水湖的湖水的年平均变化率为p，则p50＝0.9，∴p＝0.9.设2019
年的湖水量为 m，则经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系是 y＝m·0.9，即 y＝
0.9m.
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过 1%，则至
少要清洗的次数是________(lg 2≈0.3010)．
答案 4
解析 设至少要洗x次，则x≤，解得x≥≈3.322，所以至少要洗4次．
5．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售员为公司赚取的销
售利润不超过15万元时，按销售利润的10%奖励给该销售员；当销售员为公司
赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按2log (A＋
5
1)奖励给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%奖励给该销售员．记奖金总
额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如果销售员老张获得5.5万元的奖金，那么他为该公司赚取的销售利润是
多少万元？
解 (1)由题意，得y＝
(2)∵x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log (x－14)＝5.5，解得x＝39.
5
∴老张为该公司赚取的销售利润是39万元．
