文档内容
4.3.1 对数的概念
(教师独具内容)
课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理
解对数的简单性质．
教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质．
教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.
【知识导学】
知识点一 对数的概念
(1)对数的概念：如果 □ a x ＝ N (a>0，且a≠1)，那么数 □ x 叫做以 □ a 为底 □ N
的对数，记作□x＝log N，其中 □ a 叫做对数的底数， □ N 叫做真数．
a
(2)两种特殊的对数
①常用对数：通常 □ 以 1 0 为底 的对数叫做常用对数，N的常用对数log N简
10
记为 □ l g_N；
②自然对数： □ 以 e 为底 的对数称为自然对数，N的自然对数log N简记为
e
□ l n_N(其中e＝2.71828…)．
知识点二 对数与指数的关系
(1)对数的基本性质
① □ 零和负数 没有对数，即真数N>0；
②1的对数为 □ 0，即log 1＝ □ 0(a>0，且a≠1)；
a
③底数的对数等于 □ 1，即log a＝ □ 1(a>0，且a≠1)．
a
(2)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝ □ N (a>0，且a≠1，N>0)；
②log aN＝ □ N (a>0，且a≠1)．
a
【新知拓展】
在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1
(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log 8不存在．
(－2)
(2)若a＝0，
①当N≠0时，x的值不存在．如：log 3(可理解为0的多少次幂是3)不存在；
0②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log 0有无数个值．
0
(3)若a＝1，
①当N≠1时，x的值不存在．如：log 3不存在；
1
②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log 1有无数个值．
1
因此规定a>0，且a≠1.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以log 16＝4.( )
(－2)
(2)对数式log 2与log 3的意义一样．( )
3 2
(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．( )
(4)等式log 1＝0对于任意实数a恒成立．( )
a
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若5x＝2019，则x＝________.
(2)lg 10＝________；ln e＝________.
(3)将log a＝2化为指数式为________．
3
答案 (1)log 2019 (2)1 1 (3)32＝a
5
题型一 对数的概念
例1 (1)使对数log (－2x＋1)有意义的x的取值范围为( )
2
A. B.
C. D.
(2)在对数式b＝log (5－a)中，实数a的取值范围是( )
a－2
A．a>5或a<2 B．20即可，即
2
x<，所以x的取值范围为，故选C.
(2)由题意，得解得2－1且x≠1，故选C.
(2)若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，
所以解得x>，且x≠1.
即x的取值范围是.
题型二 指数式与对数式的互化
例2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝；34＝81；m＝n；
(2)将下列对数式改写成指数式：log 125＝3；log16＝－4；ln a＝b；lg 1000
5
＝3.
[解] (1)log 16＝4；log ＝－5；log 81＝4；logn＝m.
2 2 3
(2)53＝125；－4＝16；eb＝a；103＝1000.
金版点睛
由指数式ab＝N可以写成log N＝b(a>0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化
a
的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：
(1)若a＝log 3，则2a＋2－a＝________；
2
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
①log 16＝4；②log x＝6；③43＝64.
2
答案 (1) (2)见解析解析 (1)因为a＝log 3，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝.
2
(2)①24＝16；②()6＝x；③log 64＝3.
4
题型三 对数性质的应用
例3 (1)给出下列各式：
①lg (lg 10)＝0；
②lg (ln e)＝0；
③若10＝lg x，则x＝10；
④由log x＝，得x＝±5.
25
其中，正确的是________(把正确的序号都填上)；
(2)求下列各式中x的值：
①log (log x)＝0；②log (lg x)＝1；
2 5 3
③log(－1)＝x；④3x＋3＝2.
[解析] (1)∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)
＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；由log x＝，得x＝25＝
25
5，④错误．故填①②.
(2)①∵log (log x)＝0.
2 5
∴log x＝20＝1，∴x＝51＝5.
5
②∵log (lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1000.
3
③∵log(－1)＝x，
∴(－1)x＝－1，
∴x＝1.
④∵x＋3＝log 2，∴x＝log 2－3.
3 3
[答案] (1)①② (2)见解析
金版点睛
对数性质在计算中的应用
(1)对数的常用性质：log a＝1，log 1＝0(a>0，且a≠1)．
a a
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于
多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
(1)若log (x2－7x＋13)＝0，求x的值；
2
(2)已知log [log (log x)]＝log [log (log y)]＝0，求x＋y 的值．
2 3 4 3 4 2解 (1)因为log (x2－7x＋13)＝0，
2
所以x2－7x＋13＝1，即x2－7x＋12＝0，
解得x＝4或x＝3.
(2)因为log [log (log x)]＝0，
2 3 4
所以log (log x)＝1，所以log x＝3.
3 4 4
所以x＝43＝64.同理求得y＝16.所以x＋y＝80.
题型四 对数恒等式的应用
例4 求下列各式的值：
(1)5log 4；(2)3log 4－2；(3)24＋log 5.
5 3 2
[解] (1)设5log 4＝x，则log 4＝log x，∴x＝4.
5 5 5
(2)∵3log 4＝4，∴3log 4－2＝3log 4×3－2＝4×＝.
3 3 3
(3)∵2log 5＝5，∴24＋log 5＝24×2log 5＝16×5＝80.
2 2 2
金版点睛
运用对数恒等式时的注意事项
(1)对于对数恒等式alog N＝N(a>0，且a≠1，N>0)要注意格式：①它们是同
a
底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
求31＋log 6－24＋log 3＋103lg 3＋log 4的值．
3 2 3
解 原式＝31×3log 6－24×2log 3＋(10lg 3)3＋3－2×log 4＝3×6－16×3＋33
3 2 3
＋(3log 4)－2
3
＝18－48＋27＋＝－.
1．若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化为对数式为( )
A．log b＝c B．log c＝b
a a
C．log c＝a D．log a＝b
b c
答案 B
解析 由对数的定义直接可得log c＝b.
a
2．已知log 16＝2，则x等于( )
x
A．±4 B．4 C．256 D．2
答案 B
解析 ∵x2＝16且x>0，x≠1，∴x＝4.故选B.3．若log ＝x，则x＝________.
3
答案 －4
解析 ∵log ＝log 3－4，∴3x＝3－4，∴x＝－4.
3 3
4．式子2log 5＋log1的值为________．
2
答案 5
解析 由对数性质知，2log 5＝5，log1＝0，故原式＝5.
2
5．求下列各式中x的值：
(1)若log ＝1，求x的值；
3
(2)若log (x2－1)＝0，求x的值．
2019
解 (1)∵log ＝1，∴＝3，
3
∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵log (x2－1)＝0，
2019
∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.
