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4.5.1 函数的零点与方程的解
(教师独具内容)
课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具
体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
教学重点：函数零点的概念，函数零点存在定理及其应用．
教学难点：运用函数零点存在定理判断函数零点所在的区间及函数零点的个
数.
【知识导学】
知识点一 函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把 □ 使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的 □ 零点 就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数 y＝f(x)的图象
与x轴的公共点的 □ 横坐标．
注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解．
知识点二 方程的解与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x) □ 有零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴 □ 有
公共点．
知识点三 函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 □ 连续不断 的曲线，且有
□ f ( a ) f ( b ) ＜ 0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内 □ 至少有一个 零点，即存在
c∈(a，b)，使得 □ f ( c ) ＝ 0，这个c也就是f(x)＝0的解．
注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．
(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内
一定有零点，但不能确定有几个．
【新知拓展】
(1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间
[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可．可
从函数y＝来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值
f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解C．
(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．
如图①②，虽然都有 f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图
②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
(4)函数零点存在定理是不可逆的，因为 f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区
间(a，b)内存在零点．但是，已知函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定
推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.
(5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的
c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程 f(x)＝0 有两个不等实根 x ，x ，则函数 y＝f(x)的零点为(x 0)，
1 2 1,
(x 0)．( )
2,
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________．
(2)若函数 f(x)在区间(2,5)上单调递减，且图象是一条连续不断的曲线，
f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．
(3)已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，图象连续不断，若 f(1)<0，f(1.25)<0，
f(1.5)>0，则可以确定零点所在的区间为________．
答案 (1)0和－3 (2)1 (3)(1.25,1.5)
题型一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log (x＋3)；
2
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点
是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log (x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
2
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log 6，所以函数的零点是log 6.
2 2
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
金版点睛
求函数零点的方法
函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常有两种方法：
(1)令y＝0，解方程f(x)＝0的解就是函数的零点；
(2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其
余的零点．
解 由题意知f(－3)＝0，
即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
题型二 判断函数零点所在的区间
例2 若a0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
[答案] A
金版点睛
确定函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是否连
续，若连续，看是否存在 f(a)·f(b)<0，若存在，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必
有零点．
(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，若
只有一个零点，则称此零点为变号零点，反过来，若 f(a)与f(b)不变号，而是同
号，即不满足 f(a)·f(b)<0，也不能说函数在(a，b)内无零点，如 f(x)＝x2，f(－
1)·f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点．
根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个解所在的最小区间
为________．
答案 (1,2)
解析 解题的关键是判断ex与x＋2的差的符号，构造函数f(x)＝ex－x－2，
将求方程ex－x－2＝0的解所在的区间转化为求函数的零点问题．令f(x)＝ex－x
－2，由表格中数据知 f(－1)＝0.37－1＝－0.63<0，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝
2.72－3＝－0.28<0，f(2)＝7.39－4＝3.39>0，f(3)＝20.09－5＝15.09>0，由于
f(1)·f(2)<0，所以根据表格可知，解所在的最小区间为(1,2).
题型三 判断函数零点的个数
例3 f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 解法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根
为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.解法二：画出函数
f(x)＝的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，
所以函数f(x)有2个零点．
[答案] C
金版点睛
判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断．
(2)结合函数图象进行判断．
(3)借助函数的单调性进行判断．若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连
续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，
b)上有且仅有一个零点，如图所示．
已知0.
(2)方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函
数的图象与性质及零点存在定理，得解得0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故
函数的零点所在的一个区间是(0,1)．
3．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]上的实数解有( )
A．3个 B．2个
C．至少1个 D．0个
答案 C
解析 令 f(x)＝x3－x－1，则 f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－
2.5>0，故选C．
4．已知函数f(x)的图象是不间断的，且有如下的x，f(x)对应值表：
则函数f(x)在区间[－2,2]内的零点个数至少为__________．
答案 3
解析 由f(－2)·f(－1.5)<0，f(－0.5)·f(0)<0，f(0)·f(0.5)<0可知，函数f(x)在区间[－2,2]内至少有3个零点．
5．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
解 (1)依题意，得f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m
的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.
∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，
即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
