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押北京卷 15 题
分段函数与函数的零点
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
分段函数的性质 2023·北京卷T15
可以预测2024年新高 分段函数的综合问题或函数的零点中填空
考命题方向将继续分 题较难，纵观近几年的新高考试题，分别
分段函数开放题 2022·北京卷T14 段函数的综合问题或 考查分段函数的性质、函数的零点，同时
函数的零点作为压轴 备考也需强化函数的性质和数形结合的应
题展开命题． 用，也是高考冲刺复习的重点复习内容。
函数零点 2021·北京卷T15
1．（2023·北京卷T15）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【解析】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，结合图像，易知在 ， 且接近于 处， 的
距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，故③正确；对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
2．（2022·北京卷T14）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为 ；
a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合
题目要求；若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
3．（2021·北京卷T15）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
1.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
2.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检
验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
4.判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在定理判断.
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利
用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
5.利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法1．已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，故当 时， 有最小值为 ；
时， 单调递减，所以 ，
由题意 存在最小值，则 ，解得 ，即 的最大值为 .
故选：A
2．定义运算 则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题： ，
因为 都是以 为周期的函数，所以 也是以 为周期的函数，
取 研究：
当 时， ；
当 时， ；所以函数 的值域为 .
故选：B.
3．已知函数 ，若存在非零实数 ，使得 成立，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 ，则 ，
若 ，则 ，由 ，得 ，
解得 ，符合条件，排除选项A、C,
取 ，则 ，
若 时， ，由 ，得 ，
解得 ，或 ，都不符合条件，
若 ，即 ，由 ，
得 ，即 ，不符合条件，
若 ，即 ，由 ，
得 ，解得 ，或 ，都不符合条件，综上， ，排除B，选D
故选：D
4．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，函数 在 上单调递减， 在 上的值域为 ，
因为函数 在R上的值域为 ，则函数 在 上的值域包含 ，
显然 ，否则当 时， ，不符合题意，
于是函数 在 上单调递减，其值域为 ，因此 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D
5．已知函数 ,其中 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．函数 一定存在最大值 B．函数 一定存在最小值
C．函数 一定不存在最大值 D．函数 一定不存在最小值
【答案】C
【解析】由题意知函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，
由于 ，故当 时，不论是函数 还是函数 ，
函数值 ，因此函数 一定不存在最大值，A错误，C正确；
若取 ,则 ，此时函数无最小值，B错误；若取 ,则 ，此时函数最小值为0，D错误；
故选：C.
6．已知函数 ，其中 ，且 ．给出下列三个结论：
①函数 是单调函数；
②当 时，函数 的图象关于直线 对称；
③当 时，方程 根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】当 时， 在 单调递减，且 ，
在 单调递减，且 ，
故 在 上单调递减；
当 时， 在 单调递增，且 ，
在 单调递增，且 ，
故 在 上单调递增；则①正确；
设 为 图象上的任一点，不妨设 ，因为 则
点 关于直线 对称的对称点为
由 得 ，所以点 符合
所以当 时，函数 的图象关于直线 对称；故②正确；当 时，令
若 ，则 ；若 ，则 化为 ．
设 ，则 ，所以在点 处的切线的斜率为
当 时，直线 与 相切，方程 根的个数是1，
当 且 时，直线 与 相交，方程 根的个数是2，
则③正确．
故选：D
7．函数 ，定义 ，则 满足（ ）
A．只有最小值，没有最大值 B．既有最大值，又有最小值
C．只有最大值，没有最小值 D．既无最大值，也无最小值
【答案】A
【解析】在同一角直角坐标系内画出函数 的图象，如下图所示：
根据定义 ，所以函数 的图象如下图所示：由图象可知，该函数有最小值无最大值，
故选：A
8．已知函数 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程 有两个不相等的实数根，
即 有两个不相等的实数根，
又 ，
当 时， 都是单调增函数，故 也是单调增函数；
当 时， 都是单调增函数，故 也是单调增函数；
则 有两个不相等的实数根，也即 的图象有两个不同的交点；
在直角坐标系中，作出 的图象如下所示：数形结合可知，要满足题意，则 ，故选：B.
9．已知函数 关于 的方程 .有四个不同的实数解 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数 和直线 的图形，如图，
由图可知， ，且 ， ，
则 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，
故函数 在 上单调递减，所以 ，所以 ，得 ，
即 的取值范围为 .
故选：B
10．关于函数 ，给出下列结论：
① 是偶函数且在在 上单调递减；
②方程 一定有实数解；
③如果方程 （ 为常数）有解，则解的个数一定是偶数.
则正确结论的个数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】对于①中，函数 ，可得 ，解得 ，即定义域关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以①正确；
对于②中，由函数 为偶函数，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
由①知， 在 上单调递减，且当 时， ，
当 时，函数 与 在第一象限一定有交点；
由对称性，可得当 且 时，函数 与 在第二象限一定有交点，所以方程 一定有实数解，所以②正确；
对于③中，因为函数 为偶函数，令 ，解得 ，
即函数 与 轴只有一个交点，即 时，方程 只有一个解，
所以③不正确.
故选：B.
11．已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则函数 至少有一个零点；
②存在实数 ， ，使得函数 无零点；
③若 ，则不存在实数 ，使得函数 有三个零点；
②对任意实数 ，总存在实数 使得函数 有两个零点.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】①中，当 时，函数 ，
令 ，可得 ，在同一坐标系中作出 的图象，
如图所示，
由图象及直线 过定点 ，可得函数 至少一个零点，故①正确；
②中，当 ， 时，作出函数 的图象，由图象知，函数 没有零点，所以②正确；
③中，当 时，在同一坐标系中，作出函数 的图象，
如图所示，由图象可得，此时函数 有3个零点，所以③错误；
④中，分别作出当 时，函数的图象，
由图象知，对于任意实数 ，总存在实数 使得函数 有两个零点，所以④正确.
所以①②④正确，故选B.
12．关于函数 ，其中 ， ，给出下列四个结论：
甲：6是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为0；丁：方程 有两个根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】当 ， 时， 为增函数，
当 ， 时， 为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，
即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙､丁均正确.
由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则 ，得 ，
若甲正确，则 ，即 ， ，
可得 ，由 ，
可得 或 ，解得 或 ，方程 有两个根，故丁正确.
故甲正确，乙错误.
若乙正确，甲错误，则 ，则 ， ，
可得 ，由 ，
可得 或 ，解得 或 （舍去），方程 只有一个根，则丁错误，不
合题意，故选：B.
13．设函数
①若 ，则 的最小值为 .
②若 有最小值，则实数 的取值范围是 .
【答案】【解析】①当 时， ，
则当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为 ；
②由 ，则当 时， ，
由 有最小值，故当 时， 的最小值小于等于 ，
则当 且 时，有 ，符合要求；
当 时， ，故不符合要求，故舍去.
综上所述， .
14．已知函数 ，
（1）若 ，则 的最大值是 ；
（2）若 存在最大值，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】（1）若 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
则 的最大值是 .
（2）当 时，由（1）知， 存在最大值，当 时，若 存在最大值， 在 应单调递减，
所以 ，且当 时， ，无最大值，
当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 存在最大值为 .
故 的取值范围为： .
15．函数 .若 ，则 的值为 ；若 有两个零点，则 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】若 ，则 ；
因为 均至多有一个零点，
所以 在 内有一个零点， 在 内有一个零点，
且 的零点为 ， 的零点为 ，
所以 ，由指数函数单调性可知 ，
所以 的取值范围是 ，
16．设函数 ，其中 .
①若 ，则 ；②若函数 有两个零点，则a的取值范围是 .
【答案】 2
【解析】①当 时，
因为 ，所以 ，
所以 .
②因为函数 有两个零点，所以 ，即 与 的图象有两个交点.
由 得 ， 得 .
结合图象可得 ，即 .
所以a的取值范围是 .
17．已知函数 ，那么 ；当方程 有且仅有3个不同的
根时，实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ；画出函数 的图象，
方程 有且仅有3个不同的根即 与 的图象有3个交点，
由图可得： .
18．已知函数 ，关于x的方程 有3个不同的解，则m的取值范围是
.
【答案】
【解析】由题意可知，方程 有3个不同的解转化为函数 与 图象的有 个不同交点.
当 时， ，
由 ，即 ，解得 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取的极大值为 ；
作出 与 的大致图象，如图所示.由图可知，要使函数 与 图象的有 个不同交点，只需要 .
所以m的取值范围是 .
19．已知函数
①当 时， 的值域为 ；
②若关于 的方程 恰有 个正实数解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】①当 时， ，
时， ，函数单调递减， ；
时， ，函数单调递增， ，
所以 的值域为 ；
②函数
关于 的方程 恰有 个正实数解，
则 轴左边的函数图像翻折到右边，与 轴右边的图像有两个交点，
分别作出函数 的图像，
其中函数 与 的图像相交于点 和结合图像可知方程 恰有 个正实数解，为 和 ，需要 ，
所以 的取值范围为 .
20．设函数 ，
①若 有两个零点，则实数 的一个取值可以是 ；
②若 是 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 （ 内的值都可以） 或
【解析】①函数 在 上单调递增， ，
所以函数 在区间 上无零点，
则函数 在 上有2个零点，
即 ， ，则 ，或 或 ， ，
则 ，解得： ，
所以 的一个值是 ；
②函数 在 上单调递增，
则在 上， 也单调递增，且 ，
若函数在 在区间 单调递增，
则 ，即 在区间 上恒成立，
即 ，即 ，
不等式 ，解得： 或 ，
综上可知， 或 .
