文档内容
4.4.3 不同函数增长的差异
(教师独具内容)
课程标准：利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，
探索、比较它们的变化规律．
教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例
体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
教学难点：指数函数、幂函数不同区间增长快慢的差异.
【知识导学】
知识点 几种函数模型的增长差异
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是 □ 增函数 ，并且当a越 □ 大 时，其函数值的
增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝log x是 □ 增函数 ，并且当a越 □ 小 时，其函数
a
值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是 □ 增函数 ，并且当x＞1时，n越
□ 大 ，其函数值的增长就越快．
(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)
上都单调递 □ 增 ，但它们的增长速度不同，随着 x 的增大， □ 指数函数 y ＝
a x ( a >1) 的增长速度越来越快，即使 □ k 的值远远大于 □ a 的值， □ y ＝ a x ( a >1 )的增
长速度最终都会超过并远远大于 □ y ＝ k x 的增长速度．尽管在x的一定变化范围
内， □ a x 会小于 □ k x，但由于 □ 指数函数 y ＝ a x ( a >1 )的增长最终会快于 □ 一次函
数 y ＝ k x ( k >0 )的增长，因此，总会存在一个x ，当x>x 时，恒有 □ a x> □ k x.
0 0
(5)一般地，虽然对数函数y＝log x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋
a
∞)上都单调递 □ 增 ，但它们的增长速度不同．随着 x的增大， □ 一次函数 y ＝
kx ( k >0) 保持固定的增长速度，而 □ 对数函数 y ＝ lo g x ( a >1) 的增长速度越来越慢．
a
不论 □ a 的值比 □ k 的值大多少，在一定范围内， □ lo g x 可能会大于 □ k x，但由
a
于 □ lo g x 的增长慢于 □ kx 的增长，因此总会存在一个 x ，当 x>x 时，恒有
a 0 0
□ lo g x< □ k x.
a
【新知拓展】
指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝log x(a＞1)和y＝
a
xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随
着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的
增长速度，而y＝log x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个 x ，当x＞
a 0
x 时，就有log x＜xn＜ax.
0 a1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )
(2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．( )
(3)对数函数y＝log x(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速
a
度越来越慢．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做
(1)下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
(2)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
(3)已知变量 x，y 满足 y＝1－3x，当 x 增加 1 个单位时，y 的变化情况是
________．
答案 (1)C (2)D (3)减少3个单位
题型一 几类函数模型增长差异的比较
例1 四个变量y ，y ，y ，y 随变量x变化的数据如表：
1 2 3 4关于x呈指数函数变化的变量是________．
[解析] 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四
个变量y ，y ，y ，y 均是从2开始变化，变量y ，y ，y ，y 都是越来越大，但
1 2 3 4 1 2 3 4
是增长速度不同，其中变量y 的增长速度最快，可知变量y 关于x呈指数函数变
2 2
化．
[答案] y
2
金版点睛
常见的函数及增长特点
(1)线性函数
线性函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数
指数函数y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越
来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数
对数函数y＝log x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速
a
度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数
幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
有一组数据如下表：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的
一个是( )
A．v＝log t B．v＝logt
2
C．v＝ D．v＝2t－2
答案 C
解析 从表格中看到此函数为单调增函数，排除 B；增长速度越来越快，排
除A，D，选C．
题型二 指数函数、对数函数与幂函数的比较
例 2 函数 f(x)＝2x和 g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点
A(x ，y )，B(x ，y )，且x g(1)，f(2)g(10)，
∴1x .
1 2, 2
从图象上可以看出，当x x 时，f(x)>g(x)，∴f(2018)>g(2018)．
2
又g(2018)>g(6)，∴f(2018)>g(2018)>g(6)>f(6)．
金版点睛
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图
象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋
于平缓的函数是对数函数．
函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲
线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 C 对应的函数是
1
f(x)＝1.1x，
曲线C 对应的函数是h(x)＝x，曲线C 对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
2 3
由题图知，
当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)＞h(x)>g(x)．
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50 B．y＝1000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝ex
答案 D
解析 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D．
2．有一组实验数据如下表所示：
下列所给函数较适合的是( )
A．y＝log x(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)
a
C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log x＋b(a＞1)
a
答案 C
解析 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而 A，D中的
函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C．
3．当22x>log x.
2
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，如
取x＝3，经检验易知选B．
4．已知某工厂生产某种产品的月产量 y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，
现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该
产品的产量为________万件．
答案 1.75
解析 ∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
5．下面是四个不同函数随x的增大而得到的函数值表：试问：
(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
解 (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度
最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长速度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增
长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log x，其增长速度越来越小．
2
