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4.4.1 对数函数的概念
(教师独具内容)
课程标准：初步了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．
教学重点：对数函数的概念．
教学难点：运用对数函数的概念解决问题.
【知识导学】
知识点 对数函数
一般地，把函数□y＝log x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，
a
定义域是 □ ( 0 ，＋ ∞ ) ．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log 是对数函数．( )
x
(2)函数y＝2log x是对数函数．( )
3
(3)函数y＝log (x＋1)的定义域是(0，＋∞)．( )
3
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做
(1)下列函数是对数函数的有( )
①y＝2log x；②y＝1＋log x；③y＝log x；④y＝(log x)2.
3 3 3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)函数f(x)＝lg 的定义域为( )
A．(1,4) B．[1,4)
C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)
(3)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N＝
________.
答案 (1)A (2)A (3){x|－1＜x＜1}题型一 对数函数的概念及应用
例1 若函数f(x)＝log x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
(a＋1)
[解析] 由对数函数的定义可知解得a＝4.
[答案] 4
金版点睛
判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有 y＝log xa＞
a
0，且a≠1这种形式.
1对数符号前面的系数是1；
2对数的底数是不等于1的正实数常数；
3对数的真数仅有自变量x.
下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝log 2；②y＝log x(a∈R)；③y＝log x；④y＝ln x；⑤y＝log (x＋2)；
x a 8 x
⑥y＝2log x；⑦y＝log (x＋1)．
4 2
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析 形如y＝log x(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有
a
③④，其他的不符合．故选B.
题型二 对数型函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝log (－4x＋8)．
(2x－1)
[解] (1)由题意，得即
∴x≤1.即y＝的定义域为{x|x≤1}．
(2)由得
解得x>，且x≠1.
∴y＝的定义域为{x.
(3)由题意，得解得
∴y＝log (－4x＋8)的定义域为{x
(2x－1)∴y＝log (－4x＋8)的定义域为x
(2x－1)
金版点睛
求函数的定义域应考虑的几种情况
求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考
虑的几种情况：①中f(x)≠0；②(n∈N*)中f(x)≥0；③log f(x)(a>0，且 a≠1)中
a
f(x)>0；④log a(a>0)中f(x)>0，且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或
f(x)
复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．
求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝log (16－4x)；(4)y＝log (3－x)．
2 (x－1)
解 (1)要使函数式有意义，需
解得x>1，且x≠2.
∴函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需
即解得x≥4.
∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.
∴所求函数的定义域是{x|x<2}．
(4)要使函数式有意义，需
解得10，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有
aD，其他的不符合．故选D.
2．函数y＝ln 的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，真数需大于0，所以x－2＞0，即x＞2.故选C.
3．设f(log x)＝2x，x＞0，则f(3)的值是( )
2
A．128 B．256 C．512 D．8
答案 B
解析 log x＝3，即x＝8，所以f(3)＝28＝256.故选B.
2
4．已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.
答案 －4
解析 设f(x)＝log x，则f＝log ＝－2，得a＝，f＝log＝－4.
a a
5．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度 I(单位：
瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用 L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，
它与声音的强度I满足关系式：L＝alg (a是常数)，其中I ＝1×10－12瓦/平方米．
0
如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10－11瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝．
已知生活中几种声音的强度如表：
求a和m的值．
解 将I ＝1×10－12瓦/平方米，I＝1×10－11瓦/平方米代入L＝alg ，得
0
10＝alg ＝alg 10＝a，
即a＝10，m＝10lg ＝10lg 100＝20.
