文档内容
押北京卷 19 题
圆锥曲线解答题
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
椭圆方程，直线
2023·北京卷T19
斜率
圆锥曲线大题难度较难，纵观近几年的新高
可以预测2024年
考试题，主要以椭圆为背景考查斜率及面积
椭圆方程，证明 新高考命题方向
2022·北京卷T19 问题、方程求解及探究问题、证明问题、范
问题 将继续以椭圆为
围问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的
背景展开命题．
重点复习内容。
椭圆方程，范围
2021·北京卷T20
问题
1.（2023·北京卷T19）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，
N，当 时，求k的值．
2.（2022·北京卷T19）．已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶点，
B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
3.（2021·北京卷T20）已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线 与圆雉曲线相交于 ， 两点，
由直线与圆锥曲线联立，消元得到 （ ）
则：
则：弦长
或
3. 处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于
0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为
常数.
4. 处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到 、 （或 、 ）的形式，代入方程和原式化简即可.
1．已知椭圆 的左顶点为 ，上、下顶点分别为 ， ，直线 的方程为
．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2) 是椭圆上一点，且在第一象限内， 是点 关于 轴的对称点．过 作垂直于 轴的直线交直线
于点 ，再过 作垂直于 轴的直线交直线 于点 ．求 的大小．
2．已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为原点．直线 与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆的顶点）， 与直线 交于点 ，直线
分别与直线 交于点 ．求证： ．3．已知椭圆 的离心率为 ， 分别是 的上、下顶点， ， 分别
是 的左、右顶点．
(1)求 的方程；
(2)设 为第二象限内 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求证：
．
4．已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，过 分别作 轴的垂线，垂足为点
，求证：直线 与 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
5．已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 分别交椭圆 于 、 两点，若线段 的中点 在直线 上，求 面积的最大值.
6．椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点.求证：直线PM，PF，PN的斜
率成等差数列.
7．椭圆E： 焦距 ，且过点( , )，
(1)求椭圆E的标准方程和离心率，
(2)椭圆右顶点A，过(0,2)的直线交椭圆E于P，Q，其中P，Q不与顶点重合，直线AP，AQ分别与交于C，D， 与x轴交点为B，当 时，求直线PQ斜率．
8．已知椭圆 的左、右顶点为 ，离心率为 ，直线
与椭圆 交于 不同的两点，直线 分别与直线 交于点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求证：以 为直径的圆恒过定点．
9．已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上一点（不与 重合），直线 分别与直线
相交于点 ，N.当点 运动时，求证：以 为直径的圆截 轴所得的弦长为定值.
10．已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，过 的直线交椭圆 于 、
两点，点 为弦 的中点， 是坐标原点，且由于 不与 ， 重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是 延长线上一点，且 的长度为 ，求四边形 面积的取值范围．
