文档内容
专题 36 导数放缩证明不等式必刷 100 题
1．已知函数 .
（1）求 的最大值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： .
2．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）（i）当 时， 恒成立，求正整数 的最大值；
（ii）证明： ．
3．已知函数 ．
（1）求 的极大值点和极小值点；
（2）若函数 ，当 时，证明： ．
4．已知函数 ．
（1）求 的最大值；（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证：
5．已知函数 ．
（1）当 时，证明： ；
（2）当 时，若函数 有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
6．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间．
（2） ，证明： ．
7．设函数 ， .
（1）若 ，求a的值
（2）证明： .8．已知函数 .
（1）判断 的单调性；
（2）证明： .
9．已知函数 .
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）已知函数 在区间 上不存在极值点，求 的取值范围；
（3）证明： ， .
10．设函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明： ．
11．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）求证： ．12．已知函数 ， ， ．
（1）求 的最大值；
（2）若对 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（3）证明不等式 （其中 是自然对数的底数）．
13．已知函数 ， .
（1）若 恒成立，求实数m的取值范围；
（2）求证：当 时， .
14．已知函数 .
（1）求函数 在 上的最小值；
（2）证明：当 时， .
15．已知函数 .（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若 是函数 的极值点，且 ，求证： .
16．已知函数
（1）若 ，求 的值；
（2）证明：对任意的正整数 ， .
17．已知函数f（x）=lnx-x+1.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥1时，ax2+3x-lnx>0.
18．已知函数 ，
（1）试讨论 的单调性；
（2）求证： .19．已知函数 .
（1）若 ，求a的值；
（2）证明： .
20．已知函数 ， ， .
（1）求 的最大值；
（2）若对 ，总存在 使得 成立，求 的取值范围；
（3）证明不等式 .
21．已知 ．
（1）求证：当 时， ；
（2）求证： ， ， ．
22．已知函数 ．（1）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）求证： 且 ．
23．已知函数 ，其中 ， ．
（1）讨论函数 在区间 ， 上的单调性；
（2）求证： ．
24．已知函数
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）若 ，求实数 取值的集合；
（3）当 时，对任意 ，令 ，证明： .
25．已知函数 （ ）.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： （ ， ）.26．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）①若 ，证明： 在 上恒成立；
②证明：对任意正整数 ，都有 成立（其中 为自然对数的底
数）.
27．已知函数 和 .
（1）当 时，求方程 的实根；
（2）若对任意的 ，函数 的图象总在函数 的图象的上方，求实数 的取值范围；
（3）求证： ， .
28．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间及最值；
（2）证明： ， ．
29．已知函数（1）若 对于 恒成立，求 的值；
（2）求证： .
30．已知函数 ．
（1）求函数 图象在 处的切线方程．
（2）证明： ．
31．已知函数 （ ，且 ）.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明：当 时， .
32．已知函数 （ ）（其中 为自然对数的底数）.
（1）当 时，判断函数 的单调性；（2）若 ，证明 对于任意的 恒成立.
33．设 ，已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当 时， ．
34． （1）已知函数 （ ）．
①试讨论函数 的单调性；
②若 ， 为函数 的两个极值点，证明： ．
（2）证明： （e为自然对数的底数， ， ）
35．已知函数 ， ．
（1）讨论 在区间 上的零点个数；
（2） ，当 时，存在 ， 有 成立，证明： ．36．已知函数 .
（1）判断函数 的单调性；
（2）设 ，求证：当 时， .
37．已知函数 .
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若对任意 恒有不等式 成立，证明： .
38．已知函数 ， 为 的导数．
（1）若函数 有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）当 时，求证： ．
39．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程．
（2）证明：当 时，对一切 ，都有 成立．40．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 ，证明： ．
41．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）证明：当 ， 恒成立.
42．已知函数 （ ）.
（1）当 时，证明： ；
（2）若 有且仅有两个零点 ， ，求实数 的取值范围，并证明 .
43．已知函数
（1）求 的解析式及单调区间；（2）若 ，求 的最大值；
（3）证明： ．
44．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时，证明： .
45．已知 ，其中 ，且 .
（1）求 与 的关系；
（2）若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；
（3）证明：① ；
② .
46．已知函数 .
（1）若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围；（2）证明： （ ，且 ）.
47．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）当 时，证明： .
48．已知函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围：
（3）证明：当 时， 恒成立.49．已知函数 ．
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证：当 时， 成立．
50．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性
（2）设 ， 时， ，求整数k的最大值；
（3）求证： 时， ．
51．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明： .52．已知函数 (其中 为自然对数的底数).
（1）当 时，求证：函数 图象上任意一点处的切线斜率均大于 ；
（2）若 对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
53．已知函数 ，且函数 与 有相同的极值点.
（1）求实数 的值；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： .
54．已知函数 ．
（1）若 存在极值，求 的取值范围．
（2）当 时，证明： ．
55．已知函数 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）证明： .56．设 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）证明：对一切正整数n，都有 ．
57．已知函数
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，证明： .
58．已知
（1）若 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：
59．已知 ，其中 .（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明： ，其中 ， .
60．已知函数 .
（1）讨论函数 的零点个数；
（2）证明： .
61．已知函数 ， .
（1）已知 恒成立，求a的值；
（2）若 ，求证： .
62．已知 是函数 的极值点.
（1）求 的值，并证明 恒成立；
（2）证明：对于任意正整数 ，63．已知
（1）证明： ；
（2）证明： .
64．已知函数 ， ．
（1）若函数 在区间 内的单调递增，求 的取值范围；
（2）证明：对任意 ， ．
65．已知 ，其中 为自然对数的底数.
（1）当 时，求函数 在点 处的切线的方程；
（2）当 时，求函数 在 上的最小值；
（3）求证： .66．已知函数 ， ，且曲线 和 在原点处有相同的
切线．
（1）求实数 的值，并证明：当 时， ；
（2）令 ，且 ，证明： ．
67．已知 ．
（1）当 时求 的极值点个数；
（2）当 时， ，求a的取值范围；
（3）求证： ，其中 ．
68．已知定义在 上的函数 ．（其中常数 是自然对数的底数，
）
（1）当 时，求 的极值；
（2）（i）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（ii）当 时，证明： ．69．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明：对任意 ，都有 ．
70．已知函数 .
（1）若 在其定义域上为单调递减函数，求实数 的取值范围；
（2）设函数 .
①若 在 上恰有1个零点，求实数 的取值范围；
②证明：当 时， .
71．已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）当 时，若 ，且 ，求证： .72．设函数 在点 处的切线为 ．
（1）求 ， 的值，并证明： ；
（2）若 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
73．已知 ．
（1）求证：当 时， 在 上单调递增；
（2）对于任意 ，证明： ．
74．已知函数 ．
（1）求 的单调区间和最值；
（2）证明：对大于1的任意自然数n，都有 ．75．已知函数
（1）若 是 的极值点，求 的值，并讨论 的单调性；
（2）当 时，证明：
76．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明： ．
77．已知函数
（1）若 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）求证 且 ；
（3）当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，求证
78．已知函数 .
（1）若 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）求证： （ 且 ）；79．（1）若 ，判断函数 在区间 内的单调性；
（2）证明：对任意 ， ， .
80．已知函数 .
（1）当曲线 在 处的切线与直线 垂直时，求实数a的值；
（2）求函数 的单调区间.
（3）求证： .
81．已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值，并求函数 的单调区间；
（2）证明： .
82．已知函数 ，其中 为自然对数的底数，函数 .
（1）求 的最大值；（2）求证： ；
（3）求证： .
83．已知函数 .
（1）求 的单调区间和最值；
（2）证明：对大于1的任意自然数n，都有 .
84．已知函数 ；
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证： ．
85．已知函数
（1）证明： 在区间 存在唯一极小值点；
（2）证明： .86．如果 是定义在区间D上的函数，且同时满足：① ；② 与 的单调性相同，则称
函数 在区间D上是“链式函数”.已知函数 ， .
（1）判断函数 与 在 上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当 时， .
87．已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）证明： ．
88．已知函数 ，求证：
（1）函数 有且仅有一个零点；
（2） .
89．已知函数 ，
(1)若直线 与曲线 相切，求 的值.
(2)当 时，求证：当 时， 恒成立.
(参考数据： ， ， )90．已知函数 ， ．
（1）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证： ．
91．已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）证明： ， .
92．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程
（2）若 ，求证：当 时， .
93．已知函数 ．（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： ．
94．已知函数 .
（1）求函数 的极小值；
（2）证明：对于任意正整数 ， ( 为自然对数的底数).
95．已知：对任意 ， 恒成立
（1）求 的范围；
（2）证明： ．（参考数据： ， ， ， ， ）
96．已知函数 ，对于 ， 恒成立.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：当 时， .97．设函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，若 的最小值为 ，证明： .
98．已知函数 .
（1）求 的图象在点 处的切线方程，并证明 的图象上除点 以外的所有点都在这条切
线的上方；
（2）若函数 ， ，证明： .
99．（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）比较 与 的大小，无需说明理由．
100．已知函数 .（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明： 在 上恒成立；
（3）证明：当 时， .
