文档内容
4.1.1 n 次方根与分数指数幂
(教师独具内容)
课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整
数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．
教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂
与负分数指数幂的联系．
教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.与()n的区别与联系．
【知识导学】
知识点一 根式的定义
(1)a的n次方根的定义：□一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，
其中n＞1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
①当n是奇数时，□a的n次方根表示为，a∈R；
②当n是偶数时，□a的n次方根表示为±，其中－表示a的负的n次方根，
a∈[0，＋∞)．
(3)根式：□式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
(1)()n＝□a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．
(2)＝□.
知识点三 分数指数幂的意义
(1)a＝□ ，a＝＝□(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)0的正分数指数幂等于 □ 0 ,0的负分数指数幂 □ 没有意义．
知识点四 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ □ a r ＋ s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ □ a rs(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝ □ a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
【新知拓展】
1.与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不
一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．
其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.
2.分数指数幂的理解
(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，
它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义
的量，只是形式不同而已．
(2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) ＝有
意义，但(－5) ＝就没有意义．
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．( )
(2)当n∈N*时，()n都有意义．( )
(3) ＝π－3.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)用根式的形式表示下列各式(a>0)：
①a＝________；②a＝________；
③a＝________；④a＝________.
(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a>b>0)．
① ＝________；② ＝________；
③ ＝________；④ ＝________.
(3)若n为偶数时， ＝x－1，则x的取值范围为________．
答案 (1)① ② ③ ④
(2)①(a－b) ②(a2－b2) ③(a2b－ab2) ④(a2－b2) (3)x≥1
题型一 根式的概念 利用根式的性质化简
例1 (1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________；
②已知x7＝6，则x＝________；
③若有意义，则实数x的取值范围是________；
(2)化简：① (x<π，n∈N*)；② .
[解析] (1)①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
②∵x7＝6，∴x＝.
③要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
(2)①∵x<π，∴x－π<0，
当n为偶数时， ＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时， ＝x－π.
综上， ＝
②∵a≤，∴1－2a≥0，
∴ ＝＝|2a－1|＝1－2a.
[答案] (1)①±4 ② ③[2，＋∞)
(2)见解析
金版点睛
1.判断关于n次方根的结论应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
2.根式化简求值解题思路
解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用
根式的性质进行解答.
(1)下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任
意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A.1 B．2 C．3 D．4
(2)已知m10＝2，则m等于( )
A. B．－ C. D．±
(3)化简下列各式：
①；②()3；③ .
答案 (1)B (2)D (3)见解析
解析 (1)①16的4次方根应是±2；②＝2，③④正确．
(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2 的10次方根有两个，
且互为相反数，
∴m＝±.
(3)①＝＝－3.②()3＝－9.
③ ＝|a－b|＝
题型二 根式与分数指数幂的互化
例2 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( )
A.－＝(－x) (x>0)
B.x＝－(x≠0)
C. ＝(xy>0)
D.＝y
[解析] 对于A，－＝－x，所以A错误；对于B，x＝，所以B错误；对于
C，＝ (xy>0)，所以C正确；对于D，＝|y|，所以D错误．
[答案] C
金版点睛
根式与分数指数幂互化依据
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的
转化式子：a＝和a＝＝ ，其中字母a要使式子有意义．
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为
分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.
用分数指数幂表示下列各式：
(1) (a>0，b>0)；
(2)(x>0)．
题型三 多重根式的化简
例3 化简： ＋ .
[解] 解法一：
原式＝ ＋
＝ ＋＝ ＋1＋－1＝2.
解法二：令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.因为x>0，所以x＝2.
金版点睛
形如 (m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为的形式后再化简．由于(±)2
＝a＋b±2，因此转化的方法就是寻找a，b，使得即a，b是方程x2－mx＋n＝0的
两个根．如化简，首先化为的形式，即，解方程x2－4x＋3＝0，得x＝3或x＝
1，则4－2＝(－1)2，所以＝＝＝＝.
化简： － ＋ .
解 原式＝ － ＋
＝＋－(2－)＋2－＝2.
1.已知x5＝6，则x等于( )
A. B. C．－ D．±
答案 B
解析 由根式的定义知，x5＝6，x＝，选B.
2.下列各式正确的是( )
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝2
答案 C
解析 由于＝3，＝|a|，＝－2，故A，B，D错误.
3.若 ＝，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.
C. D.
答案 D
解析 ∵＝ ＝ ＝，∴1－2a≥0，即a≤.
4.计算下列各式的值：
(1) ＝__________；
(2)设b<0，则()2＝__________.
答案 (1)－5 (2)－b
解析 (1) ＝－＝－5.
(2)∵b<0，∴－b>0，∴()2＝－b.
5.计算： ＋(e≈2.7)．
解 原式＝＋＝＋＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.
