文档内容
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
考点 学习目标 核心素养
复数的有关概念 了解数系的扩充过程，理解复数的概念 数学抽象
复数的分类 理解复数的分类 数学抽象
复数相等 掌握复数相等的充要条件及其应用 数学运算
问题导学
预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：
1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？
2．复数分为哪两大类？
3．复数相等的条件是什么？
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝ － 1．
(2)复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
(3)复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即 z ＝ a ＋ b i ( a ， b ∈ R ) ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数
z的虚部．
■名师点拨
对复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋
0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当 a ＝ c 且 b ＝ d ．
3．复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨
复数bi(b∈R)不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi(b∈R)才是纯虚数．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数z＝3i，z＝2i，则z＞z.( )
1 2 1 2
(3)复数z＝bi是纯虚数．( )
(4)实数集与复数集的交集是实数集．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．1或－1
答案：D
以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
答案：A
若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．
答案：－ －
复数的概念
下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的命题是( )A．① B．②
C．③ D．④
【解析】 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝
－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x
＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；
显然，④正确．故选D.
【答案】 D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，
可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要
注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.故选C.
复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚
数？
【解】 (1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚
部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需
把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，①z为实数⇔b＝0；
②z为虚数⇔b≠0；
③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.
1．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C.复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|
－1＝0，解得a≠－1.故选C.
2．当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是：
(1)纯虚数；(2)实数．
解：(1)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，则，解得m＝4.
(2)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，则解得m＝－2或m＝－3.
复数相等
(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z＝－3－4i，z＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，
1 2
n∈R)，且z＝z，则m＋n＝( )
1 2
A．4或0 B．－4或0
C．2或0 D．－2或0
(2)若log (x2－3x－2)＋ilog (x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
2 2
【解析】 (1)由z ＝z ，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，
1 2
所以m＋n＝4或0，故选A.
(2)因为log (x2－3x－2)＋ilog (x2＋2x＋1)>1，
2 2
所以即解得x＝－2.
【答案】 (1)A (2)－2
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问
题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等
列方程(组)求解．
[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，
b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
已知A＝⇔{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝
{3}，求实数a的值．
解：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以即
所以a＝－1.
1．若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有( )
A．b＝0 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0 D．ab≠0
解析：选B.z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：选D.因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于____________．
解析：因为z＜0，所以解得m＝－3.
答案：－3
4．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．
解析：因为x∈R，所以∈R，
由复数相等的条件得
解得x＝3.
答案：3
[A 基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.
2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－
2≠0，所以a＝0.
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.
5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若z＋z＝0，则z＝z＝0；
1 2
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数
的平方与实数的平方等同，如若z ＝1，z ＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z≠z≠0，故②错误；
1 2 1 2
在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．
解析：由复数相等可知所以
答案： 1
7．复数z ＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z ＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z ＝z ，则m＝
1 2 1 2
________.
解析：因为m∈R，z ＝z ，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的
1 2
充要条件得
解得m＝5.
答案：5
8．设z＝log (1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是________．
2
解析：因为z为虚数，所以log(3－m)≠0，
故解得－10，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意．
故m的值为－2.
答案：－2
14．已知集合 M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合 N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且
M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值．
解：若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b
＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意，舍去；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}．符合题意．
所以a＝－3，b＝2.若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．
所以a＝3，b＝－2.
若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则即此方程组无整数解．
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
[C 拓展探究]
15．已知复数z ＝－a2＋2a＋ai，z ＝2xy＋(x－y)i，其中a，x，y∈R，且z ＝z ，求3x
1 2 1 2
＋y的取值范围．
解：由复数相等的充要条件，得，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝
2.
法一：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.
分析知圆心(1，－1)到直线3x＋y－t＝0的距离d＝≤，
解得2－2≤t≤2＋2，
即3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．
法二：令
得(α∈R)
所以3x＋y＝sin α＋3cos α＋2＝2sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x＋y的取值范围
是[2－2，2＋2 ]．
