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10.2 事件的相互独立性
课后篇巩固提升
基础巩固
1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在
区域的概率是( )
4 2 2 1
A. B. C. D.
9 9 3 3
答案A
4 2 2
解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为 = ,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为 ,则两个指
6 3 3
2 2 4
针同时落在奇数区域的概率为 × = .
3 3 9
2.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为( )
A.pq B.p+q
C.p+q-pq D.p+q-2pq
答案D
解析恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.
3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.
某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为( )
21 25 35 35
A. B. C. D.
192 192 192 576
答案C
5 7 3
解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为 , , .在这条道路上匀速行驶,则三处都不
12 12 4
5 7 3 35
停车的概率为 × × = .
12 12 4 192
4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸
得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是(
)A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
答案A
解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相
互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
1
5.设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为 ,A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概
9
率,则事件A发生的概率P(A)是 .
2
答案
3
解析由已知可得
{ 1
[1-P(A)][1-P(B)]= ,
9
P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
2
解得P(A)=P(B)= .
3
6.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使
世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准
确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概
率是 .
答案0.902
解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件A,B,C,则
P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1,至少两颗预报准确的事件有ABC,ABC,A
BC,ABC,这四个事件两两互斥.
∴至少两颗卫星预报准确的概率为
P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)
+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.
1 1
7.从甲袋中摸出1个红球的概率是 ,从乙袋中摸出1个红球的概率是 ,从两袋内各摸出1个球,则
3 2
(1)2个球不都是红球的概率为 .
(2)2个球都是红球的概率为 .
(3)至少有1个红球的概率为 .
(4)2个球中恰好有1个红球的概率为 .
5 1 2 1
答案(1) (2) (3) (4)
6 6 3 2
解析(1),(2),(3),(4)中的事件依次记为A,B,C,D,1 1 5
则P(A)=1- × = ;
2 3 6
1 1 1
P(B)= × = ;
3 2 6
( 1) ( 1) 2
P(C)=1- 1- × 1- = ;
2 3 3
1 ( 1) ( 1) 1 1
P(D)= × 1- + 1- × = .
3 2 3 2 2
8.某人有8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一天该人醉酒回家,每次从8把钥匙中随便
拿一把开门,试用后又不加记号放回,则该人第三次打开家门的概率是 .
49
答案
512
1 ( 1)( 1) 1 49
解析由已知每次打开家门的概率为 ,则该人第三次打开家门的概率为 1- 1- × = .
8 8 8 8 512
9.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、
100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题
答对与否相互之间没有影响.
(1)求这名同学得300分的概率;
(2)求这名同学至少得300分的概率.
解设事件A为“答对第一题”,事件B为“答对第二题”,事件C为“答对第三题”,则
P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.6.
(1)这名同学得300分这一事件可表示为(ABC)∪(ABC),则P((ABC)∪(ABC))=P(ABC)+P(A
BC)=0.8×(1-0.7)×0.6+(1-0.8)×0.7×0.6=0.228.
(2)这名同学至少得300分包括得300分或400分,该事件表示为(ABC)∪(ABC)∪(ABC),
则P((ABC)∪(ABC)∪(ABC))=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.
2 3 1
10.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为 , , ,且各自能
5 4 3
否被选中相互之间没有影响.
(1)求三人都被选中的概率;
(2)求只有两人被选中的概率.
2 3 1
解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .
5 4 3
(1)∵A,B,C是相互独立事件,
2 3 1 1
∴三人都被选中的概率为P 1 =P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
5 4 3 10
(2)三种情形:
( 2) 3 1 3
①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= 1- × × = .
5 4 3 202 ( 3) 1 1
②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × 1- × = .
5 4 3 30
2 3 ( 1) 1
③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × 1- = .
5 4 3 5
3 1 1 23
以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P= + + = .
2
20 30 5 60
能力提升
1 1
1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为 ,身体关节构造合格的概率为 .
5 4
从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没
有影响)( )
13 1 1 2
A. B. C. D.
20 5 4 5
答案D
( 1) ( 1) 3 3 2
解析这两项都不合格的概率是 1- × 1- = ,则至少有一项合格的概率是1- = .
5 4 5 5 5
2.荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一
片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图.假设现在青蛙在X荷叶上,则
跳三次之后停在X荷叶上的概率是( )
1 2 4 8
A. B. C. D.
3 9 9 27
答案A
2 1
解析由题知逆时针跳一次的概率为 ,顺时针跳一次的概率为 .则逆时针跳三次停在X上的概率为
3 3
2 2 2 8 1 1 1 1
P 1 = × × = ,顺时针跳三次停在X上的概率为P 2 = × × = .所以跳三次之后停在X上
3 3 3 27 3 3 3 27
8 1 1
的概率为P=P +P= + = .
1 2
27 27 3
1
3.在电路图中(如图),开关a,b,c闭合与断开的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
21 3 1 7
A. B. C. D.
8 8 4 8
答案B
解析设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪ABC∪ABC,且A,B,C相互独立,
ABC,ABC,ABC互斥,则P(E)=P((ABC)∪(ABC)∪(ABC))=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 3
= × × + × × 1- + × 1- × = .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取
一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记
为事件B,则P(A|B)的值是 .
5
答案
9
解析从这20名学生中随机抽取一人,基本事件总数为20个.事件A包含的基本事件有10个,故P(A)=
1 9 1
;事件B包含的基本事件有9个,P(B)= ,事件AB包含的基本事件有5个,故P(AB)= ,故P(A|B)=
2 20 4
P(AB) 5
= .
P(B) 9
5.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都
1 1 2
是 ,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为 , ;若前
2 3 3
3 2
一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为 , .记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红
5 5
球的概率为P.
n
(1)求P 的值;
2
(2)当n∈N,n≥2时,求用P 表示P 的表达式.
n-1 n
1 1 1 3 7
解(1)P 2 = × + × = .
2 3 2 5 15
1 3
(2)P=P × +(1-P )×
n n-1 n-1
3 5
4 3
=- P + (n∈N,n≥2).
n-1
15 56.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假
设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙
各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.
解记A表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,
i
B表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.
j
(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”.
A=(AA)∪(BB).
3 4 3 4
由于各局比赛结果相互独立,故
P(A)=P((AA)∪(BB))=P(AA)+P(BB)=P(A)P(A)+P(B)P(B)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从
而B=(AA)∪(BAA)∪(ABA),由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(AA)+P(BAA)+P(ABA)
3 4 3 4 5 3 4 5 3 4 3 4 5 3 4 5
=P(A)P(A)+P(B)P(A)P(A)+P(A)P(B)P(A)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.
3 4 3 4 5 3 4 5
