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10.1.4 概率的基本性质
课后篇巩固提升
基础巩固
1.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;
③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,两个事件互
为对立的是 ( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
答案C
解析从1~9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个均为奇数;(2)两个均为偶数;(3)一个奇数和一个偶数.
故选C.
2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是
3 7
,那么概率是 的事件是( )
10 10
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
答案A
解析∵在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概
3
率是 ,
10
7
∴概率是 的事件是“2张全是移动卡”的对立事件,
10
7
∴概率是 的事件是“至多有一张移动卡”.故选A.
10
3.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量不超过4.85 g的概率为0.32,那
么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
答案C
解析设质量小于4.8 g为事件A,不超过4.85 g为事件B,在[4.8,4.85]范围内为事件C,则A∪C=B,又A
与C互斥,所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02.
4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率为90%,那甲、乙二人下成和棋的概率为(
)
A.60% B.40% C.10% D.50%
答案D
解析甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋,设两人下成和棋的概率是P,则90%=40%+P,∴P=50%.故选D.
3
5.盒子中有若干个红球和黄球,已知从盒子中取出2个球都是红球的概率为 ,从盒子中取出2个球
28
5
都是黄球的概率是 ,则从盒子中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )
14
13 5 15 3
A. B. C. D.
28 7 28 7
答案A
解析设A=“从中取出2个球都是红球”,B=“从中取出2个球都是黄球”,C=“任意取出2个球恰好是
3 5 13
同一颜色”,则C=A∪B,且事件A与B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)= + = ,
28 14 28
13
即任意取出2个球恰好是同一颜色的概率为 .故选A.
28
6.若事件A,B互斥,P(A)=3P(B),P(A∪B)=0.8,则P(A)= .
答案0.6
解析∵A,B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B).
又∵P(A)=3P(B),∴4P(B)=0.8,P(B)=0.2.
∴P(A)=0.6.
4
7.同时抛掷两枚骰子,没有5点和6点的概率为 ,则至少有一个5点或6点的概率是 .
9
5
答案
9
4
解析记事件A=“同时抛掷两枚骰子,没有5点和6点”,则有P(A)= ,则
A
为“同时抛掷两枚骰子,至
9
4 5
少有一个5点或6点”,A 与A为对立事件.所以P(A)=1-P(A)=1- = .
9 9
8.
(多空题)如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率
分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为 .不命中靶的概率是 .
答案0.55 0.10
解析射手命中Ⅱ或Ⅲ的概率为P=0.30+0.25=0.55.射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命
中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则A、B、C互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)
+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.9.某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被
接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解(1)设事件“电话响第k声时被接”为A(k∈N),
k
那么事件A 彼此互斥,
k
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,
根据互斥事件概率加法公式,得
P(A)=P(A∪A∪A∪A)
1 2 3 4
=P(A)+P(A)+P(A)+P(A)
1 2 3 4
=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件B,
“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为B,
根据对立事件的概率公式,得P(B)=1-P(B)=1-0.95=0.05.
能力提升
1.若A,B为互斥事件,则( )
A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1
答案D
解析由已知中A,B为互斥事件,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,
当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.故选D.
1
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是 ,记事件A为“向上的点数
6
是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)=( )
1 1 2 5
A. B. C. D.
2 3 3 6
答案C
1
解析∵抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是 ,
6
3 1 3 1 2 1
∴P(A)= = ,P(B)= = ,P(AB)= = ,
6 2 6 2 6 3
1 1 1 2
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)= + - = .故选C.
2 2 3 3
3.某医院一天要派出医生下乡义诊,派出的医生人数及其概率如下表所示:
人 5人及5人以
0 1 2 3 4
数 上
概
0.10.160.30.20.20.04
率(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
解设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医
生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼
此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一 “派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)
+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二 “派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
4.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾
客的相关数据,如下表所示.
9至 17件
一次购 1至5至 13至
12 及
物量 4件8件 16件
件 以上
顾客数
x 30 25 y 10
(人)
结算时间
1 1.5 2 2.5 3
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一
个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次
购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为
1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10
=1.9(分钟).
100
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A,A 分别表示事件“该顾客一
1 2
次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率,得
20 1 10 1
P(A)= = ,P(A)= = .
1 2
100 5 100 10
1 1 7
P(A)=1-P(A)-P(A)=1- - = .
1 2
5 10 10
7
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 .
10
