文档内容
7．3* 复数的三角表示
考点 学习目标 核心素养
了解复数的三角形式，了解复数的代
复数的三角形式 数学抽象
数表示与三角表示之间的关系
复数三角形式乘、除运算的 了解复数乘、除运算的三角表示及其 数学抽象、数学
三角表示及其几何意义 几何意义 运算
问题导学
预习教材P83－P89的内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复
数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数
z＝a＋bi的辐角，我们规定在 0≤θ<2π范围内的辐角 θ的值为辐角的主值，通常记作
argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代
数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z＝r(cos θ＋isin θ)，z＝r(cos θ＋isin θ)，且z≠z，则
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
(1)zz＝r(cos θ＋isin θ)·r(cos θ＋isin θ)
1 2 1 1 1 2 2 2
＝rr [ cos ( θ ＋ θ ) ＋ isin ( θ ＋ θ)]．
1 2 1 2 1 2
(2)＝
＝ [ cos ( θ － θ ) ＋ isin ( θ － θ)]．
1 2 1 2
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数
的辐角减去除数的辐角所得的差．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数的辐角是唯一的．( )
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．( )
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．( )
(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
复数z＝1＋i的三角形式为z＝________．
解析：r＝，cos θ＝＝，
又因为1＋i对应的点位于第一象限，
所以arg(1＋i)＝.
所以1＋i＝.
答案：
复数6的代数形式为________．
解析：6＝6cos＋6isin＝6i.
答案：6i
6×4＝________；
6÷4＝________．
解析：6×4
＝24
＝24i.
6÷4
＝
＝
＝＋i.
答案：24i ＋i
复数的代数形式与三角形式的互化
角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)＋i；
(2)－i.
【解】 (1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos θ＝，即θ＝，所以＋i＝2.
(2)r＝＝2，cos θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.
所以－i＝2.
复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运
算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4；
(2)(cos 60°＋isin 60°)；
(3)2.
【解】 (1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos ＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
(2)(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.
(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i
＝＋i.
(3)2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos π＋2isin π
＝2×＋2×i
＝1－i.
复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i
跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．
下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；(2)－；
(3)；
(4)cos ＋isin ；
(5).
解：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式．
(1)原式＝；
(2)原式＝
＝；
(3)原式＝
＝；
(5)原式＝.
复数三角形式的乘、除运算
计算：
(1)8×4；
(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷.
【解】 (1)8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i.
(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos 75°＋isin 75°)
＝
＝＋i
＝＋i.
(3)4÷
＝4(cos 0＋isin 0)÷
＝4
＝2－2i.
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)除法法则：模相除，辐角相减．(3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
计算：
(1)；
(2)(cos 75°＋isin 75°)×；
(3)÷.
解：(1)
＝()2
＝2
＝－1＋i.
(2)－i＝
＝，
所以(cos 75°＋isin 75°)×
＝×
＝×
＝cos π＋isin π
＝cos ＋isin
＝＋i.
(3)因为－＋i＝cos π＋isin π，
所以÷
＝÷
＝
＝
＝＋i.
复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得
向量对应的复数．
【解】 因为3－i＝2
＝2
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数
为－2i.
两个复数z ，z 相乘时，先分别画出与z ，z 对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1
1 2 1 2
绕点O按逆时针方向旋转角θ(如果θ<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ|)，再
2 2 2
把它的模变为原来的r 倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积zz.
2 1 2
在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，
然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
解：＋i＝，由题意得
×
＝×2
＝3
＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
1．复数1－i的辐角的主值是( )
A.π B.π
C.π D.
解析：选A.因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：π
4．计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷.
解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)
＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cos 90°＋isin 90°
＝i.
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷
＝2÷
＝
＝＝－＋i.
[A 基础巩固]
1．复数－i的三角形式是( )
A．cos＋isin B．cos ＋isin
C．cos －isin D．cos ＋isin
解析：选A.－i＝cos π＋isin π
＝cos＋isin
＝cos＋isin.
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
解析：选D.sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)
＝cos 320°＋isin 320°.
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( )
A．4 B.－4
C．2π－4 D.－4
解析：选D.sin 4＋icos 4＝cos＋isin.
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )
A. B.或
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D.因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，
所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，
所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( )
A.
B.[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C.
D.
解析：选A.因为1＋i＝，
cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
所以(1＋i)(cos θ－isin θ)
＝
＝.
6．已知z＝cos ＋isin ，则argz2＝________．
解析：因为argz＝，所以argz2＝2argz＝2×＝.答案：
7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
解析：(1＋i)
＝
＝
＝＝1－i.
答案：1－i
8．设复数z＝1＋i，z＝＋i，则的辐角的主值是_________________．
1 2
解析：由题知，z＝2，z＝2，
1 2
所以的辐角的主值为－＝.
答案：
9．设复数 z ＝＋i，复数 z 满足|z|＝2，已知zz的对应点在虚轴的负半轴上，且
1 2 2 1
argz∈(0，π)，求z 的代数形式．
2 2
解：因为z ＝2，设z ＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以zz＝8.由题设知2α＋＝2kπ
1 2 1
＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z＝2＝－1＋i.
2
10．已知z＝－2i，z －zz ＝0，argz ＝，若z ，z 在复平面内分别对应点A，B，且|AB|
1 2 2 1 2
＝，求z 和z.
1 2
解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z－z|＝，
1 2
所以|z－z|＝|zz－z|＝|(1＋i)z－z|＝|iz|＝|z|＝，又argz＝，
1 2 2 2 2 2 2 2 2
所以z＝，
2
z＝zz＝(1＋i)z＝·＝2.
1 2 2
[B 能力提升]
11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
解析：选B.因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，
所以，所以a＝－1，故选B.
12．设π<θ<，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
解析：选B.＝＝cos 3θ＋isin 3θ.
因为π<θ<，所以3π<3θ<，
所以π<3θ－2π<，故选B.
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且argz∈，则z的三角形式为________．
解析：由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.
因为argz∈，所以z＝－1－i应舍去，
所以z＝－1＋i＝2.
答案：z＝2
14．已知k是实数，ω是非零复数，且满足argω＝π，(1＋ω)2＋(1＋i)2＝1＋kω.
(1)求ω的值；
(2)设z＝cos θ＋isin θ，θ∈[0，2π]，若|z－ω|＝1＋，求θ的值．
解：(1)设ω＝r(r>0)，可求出r＝，即ω＝－1＋i.
(2)|z－ω|＝.
因为|z－ω|＝1＋，
所以＝1＋，
化简得cos＝1，
而≤θ＋≤，
所以θ＋＝2π，即θ＝.
[C 拓展探究]
15．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z、z，
1 2
z、z 的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
1 2
解：由题意可设z＝cos α＋isin α，z＝cos β＋isin β.
1 2
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以
所以tan ＝，故tan(α＋β)＝＝.
