文档内容
10．2 事件的相互独立性
考点 学习目标 核心素养
理解相互独立事件的概念及意
相互独立事件的概念 数学抽象
义
能记住相互独立事件概率的乘
法公式；
相互独立事件同时发生的概念 能综合运用互斥事件的概率加 数学运算、数学建模
法公式
及独立事件的乘法公式解题
问题导学
预习教材P247～P249的内容，思考以下问题：
1．事件的相互独立性的定义是什么？
2．相互独立事件有哪些性质？
3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) ，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．
■名师点拨 (1)必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
(2)事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸
到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”
答案：A
甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.
那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
答案：0.56
一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率
为b，则该产品的正品率为________．
答案：(1－a)(1－b)
相互独立事件的判断
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家
庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与
B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
【解】 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，
(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，
男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，
女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个
基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
判断两个事件是否相互独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若
没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事
件A，B相互独立，这是定量判断.
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚
为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序
号)
①A，B；②A，C；③B，C.
解析：根据事件相互独立的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，
P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)
＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证 P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝
P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件
B与C相互独立，事件A与C相互独立．
答案：①②③
2．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红
牌”，记事件C为“抽得J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A.
解：(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃
K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．
相互独立事件同时发生的概率
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到
达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝
1
P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
2
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解：恰有一列火车正点到达的概率为
P ＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝
3
0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点
到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发
生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件AB.
(4)A，B恰有一个发生为事件AB＋A B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件AB＋AB＋A B.
它们之间的概率关系如表所示：
A，B互斥 A，B相互独立
P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P(A)P(B)
P(AB) 0 P(A)P(B)
P(A B) 1－[P(A)＋P(B)] P(A)P(B)
甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和
求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)2个人都译不出密码的概率；
(3)至多有1个人译出密码的概率；
(4)恰有1个人译出密码的概率；
(5)至少有1个人译出密码的概率．
解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相
互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“2个人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
(2)“2个人都译不出密码”的概率为
P(AB)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－)×(1－)＝.
(3)“至多有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，
所以至多1个人译出密码的概率为
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
(4)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，
且两个事件为互斥事件，
所以恰有1个人译出密码的概率为
P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝×(1－)＋(1－)×＝.
(5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，
所以至少有1个人译出密码的概率为
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
相互独立事件的综合应用
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的
收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足
一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设
甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别
为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
【解】 (1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人
所付租车费用相同的概率为.
(2)P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝.
概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A)＝1)简化问题，是求解概率问
题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件
之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘
法公式转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程
(组)使问题获解．
一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率
都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为 T，E与F中至少有一个不闭合的
事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率
P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝.
,
1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同
时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概
率也为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
2．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________；P(A B)＝
________．
解析：因为P(A)＝，P(B)＝.
所以P(A)＝，P(B)＝.
所以P(A B)＝P(A)P(B)＝×＝，P(A B)＝P(A)P(B)＝×＝.
答案：
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再
重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
解：设A＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.
i
(1)第3次才接通电话可表示为A1A2 A，
3于是所求概率为P(A1A2A)＝××＝.
3
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A＋A1 A＋A1A2A，
1 2 3
于是所求概率为P(A＋A1A＋A1A2A)
1 2 3
＝P(A)＋P(A1A)＋P(A1A2A)
1 2 3
＝＋×＋××＝.
[A 基础达标]
1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A
1
表示第一次取得白球，A 表示第二次取得白球，则A 和A 是( )
2 1 2
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立的事件
解析：选D.因为P(A)＝，若A 发生了，P(A)＝＝；若A 不发生，P(A)＝，所以A 发
1 1 2 1 2 1
生的结果对A 发生的结果有影响，所以A 与A 不是相互独立事件．
2 1 2
2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概
率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )
A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.3
解析：选D.由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P＝0.6×0.5
＝0.3，故选D.
3．某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，
若该电路为通路的概率为，则p＝( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1－，只有当
并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－＝(1－p)4，解得p＝或p＝(舍去)．
故选B.
4．(2019·重庆检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳
来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的
概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，
则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选A.由已知得逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为，则逆时针跳三
次停在A上的概率为P＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P＝××＝.所以跳三次
1 2之后停在A上的概率为P＝P＋P＝＋＝.
1 2
5．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概
率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( )
A．1 B. C. D.
解析：选C.一道数学难题，恰有一人解出，包括：
①A解出，B，C解不出，概率为××＝；
②B解出，A，C解不出，概率为××＝；
③C解出，A，B解不出，概率为××＝.
所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.
6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一
粒种子能发芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
7．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，
则灯亮的概率是________．
解析：设“开关 a，b，c 闭合”分别为事件 A，B，C，则灯亮这一事件为
ABC∪ABC∪AB C，且A，B，C相互独立，
ABC，ABC，AB C相互独立，
ABC，ABC，AB C互斥，所以
P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝××＋××＋××＝.
答案：
8．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别
为，，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
停车一次为事件(ABC)∪(ABC)∪(ABC)，
故其概率P＝××＋××＋××＝.
答案：
9．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为 0.9，
数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C
两两互相独立，
且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C表示，
P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)
＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用
(ABC)∪(ABC)∪(ABC)表示．
由于事件ABC，ABC和ABC两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互
不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑
的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解：记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，
C相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为P(k＝0，1，2，3)，
k
(1)三人都合格的概率为
P＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
3
(2)三人都不合格的概率为
P＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
0
(3)恰有两人合格的概率为
P＝P(ABC)＋P(A BC)＋P(ABC)
2
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率为P＝1－P－P－P＝1－－－＝＝.
1 0 2 3
综合(1)(2)(3)可知P 最大．
1
所以出现恰有1人合格的概率最大．
[B 能力提升]
11．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三
人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B.“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，
P(C)＝，所以P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回
老家过节的概率P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，所以至少有1人回老家过节的概率P＝
1－＝.
12．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(
)
A. B. C. D.
解析：选C.记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事
件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P(C)P(D)[1－P(AB)]＝××＝.所以灯亮
的概率为1－＝.
13．事件 A，B，C 相互独立，如果 P(AB)＝，P(BC)＝，P(ABC)＝，则 P(B)＝
________，P(AB)＝________．
解析：由题意可得
解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
答案：
14．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植
和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、、，且三个项目是否成功互
相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为
××(1－)＝，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
×(1－)×＝，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－)××＝，
所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.
(2)三个项目全部失败的概率为
(1－)×(1－)×(1－)＝，
所以至少有一个项目成功的概率为1－＝.
[C 拓展探索]
15．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率；
(3)至少有一人击中目标的概率．
解：记“甲射击一次，击中目标”为事件 A，“乙射击一次，击中目标”为事件
B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是AB∪AB；“至少有1人击中
目标”是AB∪AB∪AB.
(1)“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立．
所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.
(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中
(即AB)，另一种是甲未击中乙击中(即AB)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能
同时发生，即事件 AB与AB 是互斥的，所以所求概率为 P＝P(AB)＋P(AB)＝
P(A)·P(B)×P(A)·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.
(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P(AB)＋[P(AB)＋P(AB)]＝
0.64＋0.32＝0.96.
